Sorunun Çözümü
- Verilen ifadeyi düzenleyelim: $(a + c + b)(a + c - b) = 3ac$.
- Bu ifadeyi $(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2$ özdeşliğini kullanarak açalım. Burada $X = (a + c)$ ve $Y = b$'dir.
- Böylece $(a + c)^2 - b^2 = 3ac$ elde ederiz.
- $(a + c)^2$ ifadesini açarsak: $a^2 + 2ac + c^2 - b^2 = 3ac$.
- Eşitliği yeniden düzenleyelim: $a^2 + c^2 - b^2 = 3ac - 2ac$.
- Bu işlem sonucunda $a^2 + c^2 - b^2 = ac$ denklemini buluruz.
- Kosinüs Teoremi'ne göre, bir üçgende $B$ açısı için $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ bağıntısı geçerlidir.
- Kosinüs Teoremi'ni $a^2 + c^2 - b^2$ şeklinde düzenlersek: $a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B$.
- Bulduğumuz $a^2 + c^2 - b^2 = ac$ ifadesini Kosinüs Teoremi ile birleştirelim: $ac = 2ac \cos B$.
- Her iki tarafı $ac$ ile bölelim (bir üçgenin kenar uzunlukları pozitif olduğundan $ac \neq 0$): $1 = 2 \cos B$.
- Buradan $\cos B = \frac{1}{2}$ sonucuna ulaşırız.
- Kosinüsü $\frac{1}{2}$ olan açı $60^\circ$'dir. Yani $B = 60^\circ$.
- Doğru Seçenek C'dır.