Sorunun Çözümü
- Verilen ifadeyi üslü sayıların özelliklerini kullanarak sadeleştirelim: $(a^b)^c = a^{bc}$.
- $A = x^{(45 \tan 10^\circ) \cdot (44 \tan 20^\circ) \cdot (43 \tan 30^\circ) \cdot \dots \cdot (38 \tan 80^\circ)}$.
- Üs kısmındaki çarpımı iki parçaya ayıralım: sayıların çarpımı ve tanjantların çarpımı.
- Sayıların çarpımı: $45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38$. Bu ifade $\frac{45!}{37!}$ olarak yazılabilir.
- Tanjantların çarpımı: $\tan 10^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ \cdot \tan 60^\circ \cdot \tan 70^\circ \cdot \tan 80^\circ$.
- Trigonometrik özdeşlik $\tan \theta \cdot \tan (90^\circ - \theta) = 1$ kullanılarak:
- $\tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ = 1$
- $\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ = 1$
- $\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = 1$
- $\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ = 1$
- Tanjantların çarpımı $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ olur.
- Böylece $A = x^{\frac{45!}{37!}}$ eşitliğini elde ederiz.
- Bizden $x^{45!}$ ifadesinin $A$ cinsinden değeri isteniyor.
- Eşitliğin her iki tarafının $37!$ kuvvetini alalım: $(A)^{37!} = (x^{\frac{45!}{37!}})^{37!}$.
- Bu durumda $A^{37!} = x^{\frac{45!}{37!} \cdot 37!} = x^{45!}$ olur.
- Yani, $x^{45!} = A^{37!}$.
- Doğru Seçenek C'dır.