Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Şekil 1'deki Durum:
  • Balonun yerden yüksekliği $x$ birimdir. Yani, $|BT| = x$.
  • Halatın sabitlendiği A noktasına olan yatay uzaklık $|AT| = 24$ birimdir.
  • $\triangle BTA$ bir dik üçgendir. Halatın uzunluğu $|BA|$ olsun. Pisagor teoremine göre: $$|BA|^2 = x^2 + 24^2$$
  • $\sin \alpha$ değeri, $\triangle BTA$ üçgeninde karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır: $$\sin \alpha = \frac{|BT|}{|BA|} = \frac{x}{|BA|}$$
• Şekil 2'deki Durum:
  • Balonun yerden yüksekliği 13 birim artmıştır. Yeni yükseklik $|B'K| = x + 13$ birimdir.
  • Halatın sabitlendiği A noktasına olan yeni yatay uzaklık $|KA|$'dır. $|TK| = 9$ birim verildiğinden: $$|KA| = |AT| - |TK| = 24 - 9 = 15 \text{ birim}$$
  • $\triangle B'KA$ bir dik üçgendir. Halatın uzunluğu değişmediği için $|B'A| = |BA|$'dır. Pisagor teoremine göre: $$|BA|^2 = (x+13)^2 + 15^2$$
  • $\sin \beta$ değeri, $\triangle B'KA$ üçgeninde karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır: $$\sin \beta = \frac{|B'K|}{|B'A|} = \frac{x+13}{|BA|}$$
• $x$ Değerini Bulma:
  • Halatın uzunluğu değişmediği için her iki durumdaki Pisagor denklemlerini eşitleyebiliriz: $$x^2 + 24^2 = (x+13)^2 + 15^2$$ $$x^2 + 576 = x^2 + 26x + 169 + 225$$ $$x^2 + 576 = x^2 + 26x + 394$$ $$576 = 26x + 394$$ $$182 = 26x$$ $$x = \frac{182}{26} = 7$$
• $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ Oranını Hesaplama:
  • Bulduğumuz $x=7$ değerini $\sin \alpha$ ve $\sin \beta$ ifadelerinde yerine koyalım: $$\sin \alpha = \frac{7}{|BA|}$$ $$\sin \beta = \frac{7+13}{|BA|} = \frac{20}{|BA|}$$
  • Şimdi oranı hesaplayalım: $$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\frac{7}{|BA|}}{\frac{20}{|BA|}} = \frac{7}{20}$$

Cevap E seçeneğidir.