Bir fonksiyonun tersini bulmak için, öncelikle $f(x)$ yerine $y$ yazılır, ardından $x$ ve $y$ değişkenleri yer değiştirilir ve son olarak $y$ yalnız bırakılır. Bu $y$ ifadesi, fonksiyonun tersi olan $f^{-1}(x)$ olacaktır.

• Adım 1: Fonksiyonu $y$ cinsinden yazın.

Verilen fonksiyon $f(x) = \sin\left(\frac{x}{2} - 3\right)$ şeklindedir. $f(x)$ yerine $y$ yazarak başlarız:

$$y = \sin\left(\frac{x}{2} - 3\right)$$

• Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerini yer değiştirin.

Fonksiyonun tersini bulmak için $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştiririz:

$$x = \sin\left(\frac{y}{2} - 3\right)$$

• Adım 3: $y$ değişkenini yalnız bırakın.

Şimdi $y$ değişkenini $x$ cinsinden ifade etmek için denklemi çözmeliyiz. Öncelikle her iki tarafın $\arcsin$ (ters sinüs) fonksiyonunu alırız:

$$\arcsin(x) = \arcsin\left(\sin\left(\frac{y}{2} - 3\right)\right)$$

$$\arcsin(x) = \frac{y}{2} - 3$$

Şimdi $y$'yi yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim. İlk olarak her iki tarafa 3 ekleyelim:

$$\arcsin(x) + 3 = \frac{y}{2}$$

Son olarak, $y$'yi elde etmek için her iki tarafı 2 ile çarpalım:

$$2(\arcsin(x) + 3) = y$$

$$y = 2\arcsin(x) + 6$$

Böylece, $f^{-1}(x) = 2\arcsin(x) + 6$ olarak bulunur.

Cevap D seçeneğidir.