Verilen ifadeyi adım adım çözelim:

• İlk olarak, verilen $\arctan \left(\frac{3}{2}\right)=x$ ifadesini değerlendirelim. Bu ifade, $\tan x=\frac{3}{2}$ anlamına gelir.

• Bir dik üçgen çizerek $x$ açısının trigonometrik oranlarını bulalım. $\tan x=\frac{\text{karşı}}{\text{komşu}}=\frac{3}{2}$ olduğundan, karşı kenar 3 birim, komşu kenar 2 birimdir. Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulalım:

  ${\text{Hipotenüs}}^2=3^2+2^2=9+4=13$

  $\text{Hipotenüs}=\sqrt{13}$

• Şimdi $\mathrm{cotx}$, $\mathrm{sinx}$ ve $\mathrm{cosx}$ değerlerini bulalım:

  • $\mathrm{cotx}=\frac{1}{\mathrm{tanx}}=\frac{2}{3}$

  • $\mathrm{sinx}=\frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}=\frac{3}{\sqrt{13}}$

  • $\mathrm{cosx}=\frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$

• Şimdi bu değerleri istenen $\mathrm{cotx}-\mathrm{sinx}\cdot \mathrm{cosx}$ ifadesinde yerine koyalım:

  $\mathrm{cotx}-\mathrm{sinx}\cdot \mathrm{cosx}=\frac{2}{3}-\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\cdot \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$

• İfadeyi basitleştirelim:

  $\frac{2}{3}-\frac{3\cdot 2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}}=\frac{2}{3}-\frac{6}{13}$

• Ortak payda (39) bularak çıkarma işlemini yapalım:

  $\frac{2\cdot 13}{3\cdot 13}-\frac{6\cdot 3}{13\cdot 3}=\frac{26}{39}-\frac{18}{39}$

  $=\frac{26-18}{39}=\frac{8}{39}$

Cevap A seçeneğidir.