Sorunun Çözümü
- Katlama özelliği nedeniyle $|AB| = |AB'| = 5 br$ ve $|BD| = |B'D|$ olur. Ayrıca $[AD] \perp [BC]$'dir.
- $|BC| = 11 br$ ve $|B'C| = 5 br$ verildiğinden, $|BC| = |BD| + |DB'| + |B'C|$ eşitliğinden, $|BD| = |DB'| = x$ dersek, $11 = x + x + 5$ olur.
- $11 = 2x + 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ bulunur. Yani, $|BD| = 3 br$ ve $|DB'| = 3 br$'dir.
- $|DC| = |DB'| + |B'C| = 3 + 5 = 8 br$ olur.
- $\triangle ADB$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi'nden $|AD|^2 + |BD|^2 = |AB|^2$ yazılır. $|AD|^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow |AD|^2 + 9 = 25 \Rightarrow |AD|^2 = 16 \Rightarrow |AD| = 4 br$.
- $\triangle ADC$ dik üçgeninde $\tan\alpha$ değeri hesaplanır: $\tan\alpha = \frac{|AD|}{|DC|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
- $\tan\alpha = \frac{1}{2}$ olduğundan, bir dik üçgende karşı kenar 1, komşu kenar 2 ve hipotenüs $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ olur. Buradan $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ ve $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ bulunur.
- $\cos2\alpha$ değeri $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ formülüyle hesaplanır: $\cos2\alpha = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
- Son olarak istenen oran hesaplanır: $\frac{\tan\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$.
- Doğru Seçenek E'dır.