Sorunun Çözümü
- Verilen $\triangle ABC$ dik üçgeninde $|AB| = 6$ br ve $|BC| = 8$ br'dir. Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğu bulunur: $|AC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ br.
- Katlama işlemi sonucunda $B$ köşesi $B'$ noktasına geldiği için, $|AB| = |AB'| = 6$ br ve $|BD| = |B'D|$ olur. Ayrıca $\angle AB'D = \angle ABD = 90^\circ$ olur.
- $|B'C|$ uzunluğunu bulalım: $|B'C| = |AC| - |AB'| = 10 - 6 = 4$ br.
- $|BD| = x$ dersek, $|B'D| = x$ olur. $\triangle DB'C$ dik üçgeninde ($B'$ köşesi $90^\circ$), Pisagor teoremini uygulayalım: $|DC|^2 = |DB'|^2 + |B'C|^2$.
- $|DC| = |BC| - |BD| = 8 - x$ olduğundan, $(8 - x)^2 = x^2 + 4^2$ denklemini çözelim.
- $64 - 16x + x^2 = x^2 + 16 \Rightarrow 64 - 16 = 16x \Rightarrow 48 = 16x \Rightarrow x = 3$ br. Yani $|BD| = 3$ br ve $|B'D| = 3$ br.
- $\triangle DB'C$ dik üçgeninde $\alpha = m(\widehat{CDB'})$ açısının tanjantını bulalım: $\tan \alpha = \frac{|B'C|}{|B'D|} = \frac{4}{3}$.
- Yarım açı formülünü kullanalım: $\tan \alpha = \frac{2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}$. $\tan(\frac{\alpha}{2}) = t$ diyelim.
- $\frac{4}{3} = \frac{2t}{1 - t^2} \Rightarrow 4(1 - t^2) = 6t \Rightarrow 4 - 4t^2 = 6t \Rightarrow 4t^2 + 6t - 4 = 0$.
- Denklemi 2 ile sadeleştirelim: $2t^2 + 3t - 2 = 0$. Çarpanlara ayıralım: $(2t - 1)(t + 2) = 0$.
- Buradan $t = \frac{1}{2}$ veya $t = -2$ bulunur. $\alpha$ bir üçgenin açısı olduğu için $0 < \alpha < 180^\circ$, dolayısıyla $0 < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$ ve $\tan(\frac{\alpha}{2})$ pozitif olmalıdır.
- Bu nedenle $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}$ olur.
- Doğru Seçenek A'dır.