Sorunun Çözümü
- Verilen alan oranından, $AD$ ve $DC$ kenarlarının oranını buluruz: $3 Alan(ABD) = 4 Alan(BCD) \implies \frac{Alan(ABD)}{Alan(BCD)} = \frac{AD}{DC} = \frac{4}{3}$.
- $BD$ doğru parçası, $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) = 45^\circ$ olduğu için $\widehat{ABC}$ açısının açıortayıdır. Açıortay teoremine göre, $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{4}{3}$ olur.
- $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC}) = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ olduğundan, $ABC$ üçgeni $B$ noktasında dik açılı bir üçgendir.
- $AB = 4k$ ve $BC = 3k$ dersek, dik üçgen $ABC$'de Pisagor teoreminden $AC = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = \sqrt{16k^2 + 9k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k$ bulunur.
- Dik üçgen $ABC$'de $\sin\alpha = \sin(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$ olur.
- $cosec\alpha = \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}$ olarak hesaplanır.
- Doğru Seçenek A'dır.