Sorunun Çözümü
- Bir ABC üçgeninde iç açılar toplamı $180^\circ$'dir. Yani, $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$
- Bu eşitlikten $\hat{B} + \hat{C} = 180^\circ - \hat{A}$ yazılabilir.
- İfadenin pay kısmındaki $\sin(\hat{B} + \hat{C})$ terimini yerine koyarsak: $\sin(\hat{B} + \hat{C}) = \sin(180^\circ - \hat{A})$
- Trigonometrik özdeşlik gereği $\sin(180^\circ - x) = \sin x$ olduğundan, $\sin(\hat{B} + \hat{C}) = \sin\hat{A}$ olur.
- Şimdi pay kısmını tekrar yazalım: $\sin\hat{A} - \sin(\hat{B} + \hat{C}) = \sin\hat{A} - \sin\hat{A} = 0$.
- Payda kısmındaki $\cot\hat{A} \cdot \tan(\hat{A} + \hat{B})$ ifadesi, bir üçgenin açıları için genellikle sıfır değildir. Örneğin, $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ - \hat{C}$ olduğundan $\tan(\hat{A} + \hat{B}) = \tan(180^\circ - \hat{C}) = -\tan\hat{C}$ olur. Payda $\cot\hat{A} \cdot (-\tan\hat{C})$ olur ve bu ifade bir üçgende sıfır olmaz.
- Pay sıfır ve payda sıfır olmadığından, kesrin değeri $0 / (\text{sıfır olmayan bir sayı}) = 0$'dır.
- Doğru Seçenek C'dır.