Sorunun Çözümü
- Verilen fonksiyon $f(x) = 4\sin^4 (2x + 20^\circ) + 2\cos(80^\circ - 3x)$ iki ayrı fonksiyonun toplamıdır.
- İlk terim olan $f_1(x) = 4\sin^4 (2x + 20^\circ)$ için periyot bulalım. $\sin^n(ax+b)$ fonksiyonunda $n$ çift ise periyot $\frac{\pi}{|a|}$'dır. Burada $n=4$ (çift) ve $a=2$'dir.
- Bu durumda $T_1 = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$'dir.
- İkinci terim olan $f_2(x) = 2\cos(80^\circ - 3x)$ için periyot bulalım. $\cos(ax+b)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{|a|}$'dır. Burada $a=-3$'tür.
- Bu durumda $T_2 = \frac{2\pi}{|-3|} = \frac{2\pi}{3}$'tür.
- Toplam fonksiyonun esas periyodu, $T_1$ ve $T_2$'nin en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır. Yani $T = \text{EKOK}\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}\right)$'dir.
- Kesirli ifadelerin EKOK'u $\frac{\text{EKOK(paylar)}}{\text{EBOB(paydalar)}}$ formülü ile bulunur.
- $\text{EKOK}(\pi, 2\pi) = 2\pi$'dir.
- $\text{EBOB}(2, 3) = 1$'dir.
- Dolayısıyla, $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$'dir.
- Doğru Seçenek E'dır.