Sorunun Çözümü
- Şekil 1'deki duvarın yüksekliği $6 \times 5 = 30$ birimdir. Şekil 2'deki duvarın yüksekliği $8 \times 5 = 40$ birimdir.
- Şekil 1'deki dik üçgende, $\tan \alpha = \frac{30}{|KA|}$ olur. Merdiven uzunluğu $|KL|$ için Pisagor teoreminden $|KL|^2 = |KA|^2 + 30^2$ yazılır.
- Şekil 2'deki dik üçgende, $\tan \beta = \frac{40}{|K'A|}$ olur. Merdiven uzunluğu $|K'L'|$ için Pisagor teoreminden $|K'L'|^2 = |K'A|^2 + 40^2$ yazılır.
- Merdiven uzunlukları eşit olduğundan, $|KA|^2 + 30^2 = |K'A|^2 + 40^2$ yani $|KA|^2 + 900 = |K'A|^2 + 1600$ olur. Buradan $|KA|^2 - |K'A|^2 = 700$ bulunur.
- $(|KA| - |K'A|)(|KA| + |K'A|) = 700$ eşitliği elde edilir. $40^2 = 1600$ ve $30^2 = 900$ olduğundan, $|KA|^2 = |K'A|^2 + 700$ eşitliği $|KA| > |K'A|$ olduğunu gösterir.
- Soruda "merdivenin K ucu A noktasına biri diğerinden 10 birim daha uzaktadır" ifadesi $|KA| - |K'A| = 10$ olduğunu belirtir.
- Bu değeri yerine koyarsak $10(|KA| + |K'A|) = 700$, yani $|KA| + |K'A| = 70$ olur.
- İki denklemi çözelim: $|KA| - |K'A| = 10$ ve $|KA| + |K'A| = 70$. Denklemleri toplarsak $2|KA| = 80 \Rightarrow |KA| = 40$ birim bulunur.
- $|KA| = 40$ ise $40 - |K'A| = 10 \Rightarrow |K'A| = 30$ birim bulunur.
- Şimdi $\tan \alpha$ ve $\tan \beta$ değerlerini hesaplayalım: $\tan \alpha = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$ ve $\tan \beta = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.
- Son olarak $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$ oranını bulalım: $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac{3/4}{4/3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$.
- Doğru Seçenek C'dır.