Sorunun Çözümü
- Verilen ifadenin pay kısmını basitleştirelim:
- `$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$` ifadesi 4. bölgededir, sinüs negatif olur ve fonksiyon isim değiştirir. Bu nedenle `$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha$`.
- `$\cos(\alpha - \pi)$` ifadesi `$\cos(\pi - \alpha)$` olarak yazılabilir. Bu ifade 2. bölgededir, kosinüs negatif olur ve fonksiyon isim değiştirmez. Bu nedenle `$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$`.
- Pay `$ -\cos\alpha + (-\cos\alpha) = -2\cos\alpha$` olur.
- Verilen ifadenin payda kısmını basitleştirelim:
- `$\cos(-\frac{3\pi}{2} + \alpha)$` ifadesi periyodik özellikten dolayı `$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$` olarak yazılabilir. Bu ifade 2. bölgededir, kosinüs negatif olur ve fonksiyon isim değiştirir. Bu nedenle `$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$`.
- `$\sin(\pi - \alpha)$` ifadesi 2. bölgededir, sinüs pozitif olur ve fonksiyon isim değiştirmez. Bu nedenle `$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$`.
- Payda `$ -\sin\alpha - \sin\alpha = -2\sin\alpha$` olur.
- Basitleştirilmiş pay ve paydayı birleştirerek ifadeyi sadeleştirelim:
- İfade `$ \frac{-2\cos\alpha}{-2\sin\alpha} $` haline gelir.
- Bu ifade `$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $` olarak sadeleşir.
- `$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha $`.
- Doğru Seçenek B'dır.