Verilen ifadeyi basitleştirmek için $\arctan\left(\frac{3}{4}\right) = \alpha$ diyelim. Bu durumda $\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$ olur.

İfade $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ şeklini alır.

Trigonometrik özdeşliklerden $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha)$ olduğunu biliyoruz.

Şimdi $\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$ olan bir dik üçgen çizelim. Karşı kenar 3, komşu kenar 4 olur. Pisagor teoreminden hipotenüs $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ bulunur.

Bu dik üçgende $\cos(\alpha) = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{4}{5}$ olur.

Dolayısıyla, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arctan\frac{3}{4}\right) = \cos\left(\arctan\frac{3}{4}\right) = \frac{4}{5}$'tir.