Verilen ifadeyi adım adım çözelim:

• İfadeyi basitleştirmek için, $ \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) $ değerine $ \theta $ diyelim.
• Bu durumda, $ \sin\theta = \frac{5}{13} $ olur.
• $ \arcsin $ fonksiyonunun tanım aralığı $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ olduğundan ve $ \sin\theta > 0 $ olduğu için $ \theta $ açısı birinci bölgededir. Birinci bölgede kosinüs değeri pozitiftir.
• Dik üçgen çizerek veya $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ özdeşliğini kullanarak $ \cos\theta $ değerini bulabiliriz.
  • $ \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta $
  • $ \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 $
  • $ \cos^2\theta = 1 - \frac{25}{169} $
  • $ \cos^2\theta = \frac{169 - 25}{169} $
  • $ \cos^2\theta = \frac{144}{169} $
  • $ \cos\theta = \sqrt{\frac{144}{169}} $ (çünkü $ \theta $ birinci bölgede)
  • $ \cos\theta = \frac{12}{13} $
• Dolayısıyla, $ \cos\left(\arcsin\left(\frac{5}{13}\right)\right) = \cos\theta = \frac{12}{13} $ bulunur.
• Doğru Seçenek C'dır.