Bu ders notu, 11. sınıf Ters Trigonometrik Fonksiyonlar konusundaki temel bilgileri ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini kapsayarak, sınav öncesi hızlı bir tekrar yapmanızı sağlayacaktır.

📐 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanımı ve Değer Aralığı

Ters trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonların birebir ve örten oldukları belirli aralıklarda tanımlanan tersleridir. Bu aralıklar, fonksiyonların tek bir çıktıya sahip olmasını sağlar.

• arcsin x (Arksinüs Fonksiyonu):
• Tanım Kümesi: \([-1, 1]\)
• Değer Kümesi (Görüntü Kümesi): \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) veya \([-90^\circ, 90^\circ]\)
• Anlamı: \(\arcsin x = \theta\) ise \(\sin \theta = x\) demektir ve \(\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) olmalıdır.
• Özellik: \(\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\)
• arccos x (Arkkosinüs Fonksiyonu):
• Tanım Kümesi: \([-1, 1]\)
• Değer Kümesi (Görüntü Kümesi): \([0, \pi]\) veya \([0^\circ, 180^\circ]\)
• Anlamı: \(\arccos x = \theta\) ise \(\cos \theta = x\) demektir ve \(\theta \in [0, \pi]\) olmalıdır.
• Özellik: \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\)
• arctan x (Arktanjant Fonksiyonu):
• Tanım Kümesi: \((-\infty, \infty)\) (Tüm reel sayılar)
• Değer Kümesi (Görüntü Kümesi): \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) veya \((-90^\circ, 90^\circ)\)
• Anlamı: \(\arctan x = \theta\) ise \(\tan \theta = x\) demektir ve \(\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) olmalıdır.
• Özellik: \(\arctan(-x) = -\arctan(x)\)

⚠️ Dikkat: Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları, özellikle negatif argümanlarla çalışırken çok önemlidir. Örneğin, \(\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}\) iken, \(\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}\) olur. Bu farklılıklar, her fonksiyonun kendi değer aralığından kaynaklanır.

🔢 Ters Trigonometrik İfadelerin Değerini Hesaplama

Bu tür sorularda, verilen ters trigonometrik ifadenin hangi açıya karşılık geldiğini bulmanız gerekir. Genellikle özel açılar (\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)) ve onların katları kullanılır.

• Örneğin, \(\arcsin(\frac{1}{2})\) ifadesinin değeri, sinüsü \(\frac{1}{2}\) olan ve \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) aralığında bulunan açıdır. Bu açı \(\frac{\pi}{6}\) radyan veya \(30^\circ\)'dir.
• Örneğin, \(\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})\) ifadesinin değeri, kosinüsü \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) olan ve \([0, \pi]\) aralığında bulunan açıdır. Bu açı \(\frac{5\pi}{6}\) radyan veya \(150^\circ\)'dir. (\(\pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\))
• Örneğin, \(\arctan(-\sqrt{3})\) ifadesinin değeri, tanjantı \(-\sqrt{3}\) olan ve \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) aralığında bulunan açıdır. Bu açı \(-\frac{\pi}{3}\) radyan veya \(-60^\circ\)'dir.

💡 İpucu: Birim çember üzerindeki açıları ve trigonometrik oranlarını iyi bilmek, bu hesaplamaları hızlandırır.

🔺 Bileşke Fonksiyonlar ve Üçgen Yöntemi

Bir trigonometrik fonksiyonun içinde ters trigonometrik bir ifade (\(sin(\arccos x)\) gibi) gördüğünüzde, genellikle dik üçgen çizme yöntemi kullanılır.

• İçteki ters trigonometrik ifadeye bir açı atayın: Örneğin, \(\arccos(\frac{5}{13}) = \alpha\) olsun.
• Bu durumda, \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\) olur.
• Bu \(\alpha\) açısını kullanarak bir dik üçgen çizin. Komşu kenar 5, hipotenüs 13 olur. Pisagor teoreminden karşı kenarı bulun (\(5^2 + x^2 = 13^2 \Rightarrow 25 + x^2 = 169 \Rightarrow x^2 = 144 \Rightarrow x = 12\)).
• Şimdi, istenen trigonometrik oranı bu üçgenden okuyun. Örneğin, \(\sin \alpha = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13}\) olur. Dolayısıyla, \(\sin(\arccos(\frac{5}{13})) = \frac{12}{13}\).

Bazı özel durumlar:

• \(\sin(\arcsin x) = x\) ve \(\cos(\arccos x) = x\), \(\tan(\arctan x) = x\) gibi ifadelerde, tanım kümesi içinde ise sonuç doğrudan \(x\)'tir. (Örn: \(\sin(\arcsin(\frac{4}{5})) = \frac{4}{5}\))
• \(\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)\) gibi ifadelerde indirgeme formüllerini kullanmayı unutmayın. Örneğin, \(\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha\).

💡 İpucu: İçteki ters trigonometrik ifadenin değer aralığına dikkat ederek, üçgeni çizerken açının hangi bölgede olduğunu göz önünde bulundurun. Örneğin, \(\arcsin x\) için açı 1. veya 4. bölgededir, \(\arccos x\) için 1. veya 2. bölgededir.

🌐 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım Kümesi

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulurken, özellikle köklü ifadeler, kesirli ifadeler ve ters trigonometrik fonksiyonlar içeren durumlara dikkat etmek gerekir.

• \(\arcsin(f(x))\) veya \(\arccos(f(x))\) şeklinde bir ifade varsa, içteki \(f(x)\) ifadesinin \([-1, 1]\) aralığında olması gerekir. Yani, \(-1 \le f(x) \le 1\) eşitsizliğini çözerek tanım kümesini bulursunuz.
• Örneğin, \(f(x) = \arccos(\frac{2x-1}{3})\) fonksiyonunun tanım aralığı için:
• \(-1 \le \frac{2x-1}{3} \le 1\)
• \(-3 \le 2x-1 \le 3\) (Her tarafı 3 ile çarpın)
• \(-2 \le 2x \le 4\) (Her tarafa 1 ekleyin)
• \(-1 \le x \le 2\) (Her tarafı 2'ye bölün)
• Tanım aralığı \([-1, 2]\) olur.
• \(\arctan(f(x))\) şeklinde bir ifade varsa, \(\arctan\) fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğundan, \(f(x)\) ifadesinin tanımsız olduğu noktalar dışında (genellikle kesirli veya köklü ifadelerden kaynaklanan) herhangi bir kısıtlama olmaz.

⚠️ Dikkat: Eşitsizlik çözerken, negatif bir sayı ile çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizlik yön değiştirir. Bu temel kuralı unutmayın.

🔄 Ters Fonksiyon Bulma İşlemleri

Bir fonksiyonun tersini bulmak için genel adımlar şunlardır:

• Verilen fonksiyonu \(y = f(x)\) şeklinde yazın.
• \(x\) ve \(y\) değişkenlerinin yerlerini değiştirin. Yani \(x = f(y)\) haline getirin.
• Yeni denklemde \(y\)'yi yalnız bırakın. Yalnız bıraktığınız \(y\) ifadesi, fonksiyonun tersi olan \(f^{-1}(x)\) olacaktır.

Trigonometrik Fonksiyonların Tersi:

• Örneğin, \(f(x) = \cos(3x - 2)\) fonksiyonunun tersini bulalım:
• \(y = \cos(3x - 2)\)
• \(x = \cos(3y - 2)\) (x ve y yer değiştirdi)
• \(\arccos(x) = 3y - 2\) (Kosinüsün tersini alarak 3y-2'yi yalnız bıraktık)
• \(\arccos(x) + 2 = 3y\)
• \(y = \frac{\arccos(x) + 2}{3}\)
• Dolayısıyla, \(f^{-1}(x) = \frac{\arccos(x) + 2}{3}\) olur.

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tersi:

• Örneğin, \(f(x) = \arctan(3x - 1)\) fonksiyonunun tersini bulalım:
• \(y = \arctan(3x - 1)\)
• \(x = \arctan(3y - 1)\) (x ve y yer değiştirdi)
• \(\tan(x) = 3y - 1\) (Arktanjantın tersini alarak 3y-1'i yalnız bıraktık)
• \(\tan(x) + 1 = 3y\)
• \(y = \frac{\tan(x) + 1}{3}\)
• Dolayısıyla, \(f^{-1}(x) = \frac{\tan(x) + 1}{3}\) olur.

💡 İpucu: Bir fonksiyonun tersinin var olabilmesi için fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir. Trigonometrik fonksiyonlar için bu, belirli bir aralıkta kısıtlanmaları anlamına gelir. Ters fonksiyonu bulduğunuzda, orijinal fonksiyonun değer kümesinin, ters fonksiyonun tanım kümesi olduğunu unutmayın.