Sorunun Çözümü
- Verilen fonksiyon $f(x) = 2\cos(\pi - 3x) + 1$'dir.
- Trigonometrik özdeşlik $\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$ kullanarak fonksiyonu $f(x) = -2\cos(3x) + 1$ şeklinde yazabiliriz.
- Fonksiyonun orta çizgisi (midline) $y=1$'dir. Maksimum değeri $1+2=3$, minimum değeri $1-2=-1$'dir.
- Grafikte b noktası fonksiyonun ilk maksimum noktasıdır. Maksimum değer $3$'tür. Buna göre, $-2\cos(3b) + 1 = 3 \Rightarrow -2\cos(3b) = 2 \Rightarrow \cos(3b) = -1$. $3b = \pi + 2k\pi$ (k bir tam sayı). $b = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$. İlk pozitif maksimum için $k=0$ alınırsa, $b = \frac{\pi}{3}$ bulunur.
- Grafikte a noktası, fonksiyonun artan kısmında orta çizgiyi ($y=1$) kestiği noktadır. Buna göre, $f(a) = 1 \Rightarrow -2\cos(3a) + 1 = 1 \Rightarrow -2\cos(3a) = 0 \Rightarrow \cos(3a) = 0$. $3a = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (k bir tam sayı). $a = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$.
- Fonksiyonun türevi $f'(x) = 6\sin(3x)$'tir. Fonksiyonun artan olması için $f'(x) > 0$, yani $\sin(3x) > 0$ olmalıdır. $a$ noktası $0$ ile $b=\frac{\pi}{3}$ arasındadır ve artan kısımdadır. $k=0$ için $a = \frac{\pi}{6}$ bulunur. Bu değer $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}$ aralığındadır. $f'(\frac{\pi}{6}) = 6\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = 6\sin(\frac{\pi}{2}) = 6(1) = 6 > 0$ olduğu için fonksiyon bu noktada artandır. Dolayısıyla, $a = \frac{\pi}{6}$'dır.
- $a+b$ toplamı: $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
- Doğru Seçenek A'dır.