Sorunun Çözümü
- Baz istasyonunun yüksekliğini $h$ olarak adlandıralım. Yani $PK = h$.
- $\triangle PKB$ dik üçgeninde, $\tan(40^\circ) = \frac{PK}{BK} = \frac{h}{BK}$ olduğundan, $BK = \frac{h}{\tan(40^\circ)}$'dir.
- $\triangle PKA$ dik üçgeninde, $\tan(30^\circ) = \frac{PK}{AK} = \frac{h}{AK}$ olduğundan, $AK = \frac{h}{\tan(30^\circ)}$'dir.
- Şekildeki uzunluk ilişkisinden $AK = AB + BK$ olduğunu biliyoruz. $|AB| = 10$ br verildiği için $AK = 10 + BK$ yazabiliriz.
- Yukarıdaki ifadeleri yerine koyarsak:
$\frac{h}{\tan(30^\circ)} = 10 + \frac{h}{\tan(40^\circ)}$ - Denklemi $h$ için düzenleyelim:
$h \left( \frac{1}{\tan(30^\circ)} - \frac{1}{\tan(40^\circ)} \right) = 10$
$h \left( \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} - \frac{\cos(40^\circ)}{\sin(40^\circ)} \right) = 10$
$h \left( \frac{\sin(40^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(40^\circ)\sin(30^\circ)}{\sin(30^\circ)\sin(40^\circ)} \right) = 10$
Trigonometrik özdeşlik $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ kullanarak:
$h \left( \frac{\sin(40^\circ - 30^\circ)}{\sin(30^\circ)\sin(40^\circ)} \right) = 10$
$h \left( \frac{\sin(10^\circ)}{\sin(30^\circ)\sin(40^\circ)} \right) = 10$ - $h$ değerini yalnız bırakalım:
$h = \frac{10 \cdot \sin(30^\circ) \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)}$ - Verilen değerleri yerine koyalım: $\sin(10^\circ) \approx 0.17$, $\sin(40^\circ) \approx 0.64$, ve $\sin(30^\circ) = 0.5$.
$h = \frac{10 \cdot 0.5 \cdot 0.64}{0.17}$
$h = \frac{5 \cdot 0.64}{0.17}$
$h = \frac{3.2}{0.17}$
Pay ve paydayı 100 ile çarparak ondalıklardan kurtulalım:
$h = \frac{320}{17}$ - Doğru Seçenek A'dır.