Verilen `tan(\hat{BAC}) = \frac{3}{4}` bilgisini kullanarak `sin(\hat{BAC})` değerini bulalım. Bir dik üçgende karşı kenar 3k, komşu kenar 4k ise hipotenüs `\sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k` olur.
Bu durumda `sin(\hat{BAC}) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}`.

Şimdi Sinüs Teoremi'ni uygulayalım. Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgende kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir:
`\frac{|AB|}{\sin(\hat{C})} = \frac{|BC|}{\sin(\hat{BAC})}`

Verilen değerleri ve bulduğumuz `sin(\hat{BAC})` değerini yerine yazalım:
`\frac{12}{\sin(\hat{C})} = \frac{20}{\frac{3}{5}}`

Denklemi `sin(\hat{C})` için çözelim:
`\frac{12}{\sin(\hat{C})} = 20 \times \frac{5}{3}`
`\frac{12}{\sin(\hat{C})} = \frac{100}{3}`
`12 \times 3 = 100 \times \sin(\hat{C})`
`36 = 100 \times \sin(\hat{C})`
`\sin(\hat{C}) = \frac{36}{100}`

Kesri sadeleştirelim:
`\sin(\hat{C}) = \frac{9}{25}`