Adım 1: Eşkenar üçgenin kenar uzunluklarını ve açılarını belirleyin.

• ABC eşkenar üçgen olduğundan, tüm kenar uzunlukları eşittir ve tüm iç açıları $60^\circ$'dir.
• $|BC| = |BD| + |CD| = 3 + 5 = 8$ birimdir.
• Dolayısıyla, eşkenar üçgenin tüm kenarları $|AB| = |AC| = |BC| = 8$ birimdir.
• $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$.

Adım 2: $\triangle ABD$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni kullanarak $|AD|$ kenar uzunluğunu bulun.

• $\triangle ABD$ üçgeninde kenarlar $|AB|=8$, $|BD|=3$ ve $m(\widehat{ABD})=60^\circ$'dir.
• Kosinüs Teoremi'ne göre: $$|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos(60^\circ)$$
• Değerleri yerine yazalım: $$|AD|^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$$ $$|AD|^2 = 64 + 9 - 24$$ $$|AD|^2 = 49$$ $$|AD| = 7 \text{ birim.}$$

Adım 3: $\triangle ABD$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni kullanarak $\cos \alpha$ değerini bulun.

• Şimdi $\triangle ABD$ üçgeninde kenarlar $|AB|=8$, $|BD|=3$, $|AD|=7$ ve $m(\widehat{ADB})=\alpha$'dır.
• Kosinüs Teoremi'ni $\alpha$ açısına göre uygulayalım: $$|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos \alpha$$
• Değerleri yerine yazalım: $$8^2 = 7^2 + 3^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cos \alpha$$ $$64 = 49 + 9 - 42 \cos \alpha$$ $$64 = 58 - 42 \cos \alpha$$
• $\cos \alpha$ değerini yalnız bırakalım: $$64 - 58 = -42 \cos \alpha$$ $$6 = -42 \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = \frac{6}{-42}$$ $$\cos \alpha = -\frac{1}{7}$$

Cevap E seçeneğidir.