Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni A noktasında dik açılı bir üçgendir ($[AB] \perp [AC]$). D noktası, hipotenüs BC'nin orta noktasıdır çünkü $|BD| = |CD| = 10$ birimdir.

• Adım 1: Hipotenüs uzunluğunu ve hipotenüse ait kenarortayı bulma.

D noktası hipotenüs BC'nin orta noktası olduğundan, hipotenüsün uzunluğu $|BC| = |BD| + |CD| = 10 + 10 = 20$ birimdir.

Dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü kuralı). Bu durumda, $|AD| = \frac{|BC|}{2} = \frac{20}{2} = 10$ birimdir.

• Adım 2: AB kenarının uzunluğunu bulma.

ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

$$|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$$

$$|AB|^2 + 12^2 = 20^2$$

$$|AB|^2 + 144 = 400$$

$$|AB|^2 = 400 - 144$$

$$|AB|^2 = 256$$

$$|AB| = \sqrt{256} = 16$$ birimdir.

• Adım 3: Kosinüs Teoremi'ni kullanarak $\cos\alpha$ değerini bulma.

Şimdi ABD üçgenine odaklanalım. Kenar uzunlukları: $|AB| = 16$, $|AD| = 10$, $|BD| = 10$.

$\alpha = m(\widehat{BAD})$ açısının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım:

$$|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \cos\alpha$$

$$10^2 = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \cos\alpha$$

$$100 = 256 + 100 - 320 \cdot \cos\alpha$$

$$100 = 356 - 320 \cdot \cos\alpha$$

$$320 \cdot \cos\alpha = 356 - 100$$

$$320 \cdot \cos\alpha = 256$$

$$\cos\alpha = \frac{256}{320}$$

Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 64'e bölerek):

$$\cos\alpha = \frac{256 \div 64}{320 \div 64} = \frac{4}{5}$$

Cevap D seçeneğidir.