Merhaba! Bu trigonometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim.

• Verilen Bilgiler:
  • `$0 < x < \frac{\pi}{2}$` (x açısı 1. bölgededir, bu yüzden sinüs ve kosinüs değerleri pozitiftir.)
  • `$\tan x = \frac{3}{4}$`
• Adım 1: `$\sin x$` ve `$\cos x$` değerlerini bulma

  Bir dik üçgen çizerek veya trigonometrik özdeşlikleri kullanarak `$\sin x$` ve `$\cos x$` değerlerini bulabiliriz. `$\tan x = \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \frac{3}{4}$` olduğundan, Pisagor teoremi ile hipotenüs `$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$` bulunur.

  Buna göre:

  • `$\sin x = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{3}{5}$`
  • `$\cos x = \frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} = \frac{4}{5}$`
• Adım 2: İfadeyi indirgeme formülleriyle basitleştirme

  İstenen ifade `$\sin (\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cos(\pi - x)$` şeklindedir.

  • `$\sin (\frac{\pi}{2} + x)$`: `$\frac{\pi}{2}$` (90 derece) olduğunda fonksiyon isim değiştirir (sinüs kosinüs olur). `$(\frac{\pi}{2} + x)$` açısı 2. bölgededir ve 2. bölgede sinüs pozitiftir. Bu yüzden `$\sin (\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$`.
  • `$\cos(\pi - x)$`: `$\pi$` (180 derece) olduğunda fonksiyon isim değiştirmez. `$(\pi - x)$` açısı 2. bölgededir ve 2. bölgede kosinüs negatiftir. Bu yüzden `$\cos(\pi - x) = -\cos x$`.
• Adım 3: Basitleştirilmiş ifadeyi hesaplama

  Şimdi basitleştirilmiş ifadeleri yerine yazalım:

  `$\sin (\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cos(\pi - x) = (\cos x) \cdot (-\cos x) = -\cos^2 x$`

  Bulduğumuz `$\cos x = \frac{4}{5}$` değerini yerine koyalım:

  `$-\left(\frac{4}{5}\right)^2 = -\frac{16}{25}$`

Cevap A seçeneğidir.