Sorunun Çözümü
- Verilen `$x + y = 90^\circ$` ifadesini kullanarak `$\tan(2x + y)$` ifadesini düzenleyelim: `$2x + y = x + (x + y) = x + 90^\circ$`.
- Bu değeri `$\tan(2x + y)$` denklemine yerine koyalım: `$\tan(x + 90^\circ) = -\frac{5}{12}$`.
- Trigonometrik özdeşliği kullanalım: `$\tan(90^\circ + \alpha) = -\cot \alpha$`. Bu durumda, `$\tan(x + 90^\circ) = -\cot x$` olur.
- Denklemi eşitleyelim: `$-\cot x = -\frac{5}{12}$`, buradan `$\cot x = \frac{5}{12}$` bulunur.
- `$x + y = 90^\circ$` olduğu için `$x$` ve `$y$` tümler açılardır. Tümler açılarda `$\cot x = \tan y$` özdeşliği geçerlidir. Dolayısıyla, `$\tan y = \frac{5}{12}$` olur.
- `$\tan y = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \frac{5}{12}$` bilgisini kullanarak bir dik üçgen düşünelim. Karşı kenar `$5k$`, komşu kenar `$12k$` ise, Pisagor teoreminden hipotenüs `$h = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k$` olur.
- `$\cos y$` değerini hesaplayalım: `$\cos y = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}$`.
- Doğru Seçenek C'dır.