Sorunun Çözümü
- Verilen ifadeyi basitleştirmek için pay kısmına toplam-fark formülü uygulayalım: $sin A - sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$.
- Pay: $sin170^\circ - sin190^\circ = 2 \cos\left(\frac{170^\circ+190^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{170^\circ-190^\circ}{2}\right)$
- $= 2 \cos(180^\circ) \sin(-10^\circ)$
- $\cos(180^\circ) = -1$ ve $\sin(-10^\circ) = -\sin(10^\circ)$ olduğundan, pay $= 2(-1)(-\sin10^\circ) = 2\sin10^\circ$.
- Payda: $\sin100^\circ$. Açıyı dar açıya çevirelim: $\sin100^\circ = \sin(90^\circ + 10^\circ) = \cos10^\circ$.
- İfade şimdi $\frac{2\sin10^\circ}{\cos10^\circ}$ şeklini aldı.
- Bize $\sin10^\circ = k$ verilmiş. $\cos10^\circ$ değerini $k$ cinsinden bulalım.
- $\sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1$ olduğundan, $\cos^2 10^\circ = 1 - \sin^2 10^\circ = 1 - k^2$.
- $10^\circ$ birinci bölgede olduğu için $\cos10^\circ > 0$. Dolayısıyla $\cos10^\circ = \sqrt{1 - k^2}$.
- İfadeyi $k$ cinsinden yazarsak: $\frac{2k}{\sqrt{1 - k^2}}$.
- Doğru Seçenek C'dır.