Verilen soruyu adım adım çözelim:

• 1. Açının Bölgesini Belirleme:

  Soruda \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) olduğu belirtilmiştir. Bu aralık, \(\alpha\) açısının II. bölgede olduğunu gösterir.

• 2. Trigonometrik Değerlerin İşaretlerini Belirleme:

  II. bölgede sinüs değeri pozitif (\(\sin\alpha > 0\)), kosinüs değeri negatif (\(\cos\alpha < 0\)) ve tanjant değeri negatiftir (\(\tan\alpha < 0\)). Verilen \(\tan\alpha = -\frac{3}{4}\) değeri bu durumu doğrular.

• 3. Dik Üçgen Oluşturma ve Kenar Uzunluklarını Bulma:

  \(\tan\alpha = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \frac{3}{4}\) olarak düşünebiliriz (işareti daha sonra uygulayacağız). Bir dik üçgende karşı kenar 3 birim, komşu kenar 4 birim ise, Pisagor Teoremi'nden hipotenüs uzunluğu:

  \(h^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)

  \(h = \sqrt{25} = 5\) birimdir.

• 4. \(\sin\alpha\) ve \(\cos\alpha\) Değerlerini Bulma:

  Şimdi bu kenar uzunluklarını kullanarak \(\sin\alpha\) ve \(\cos\alpha\) değerlerini bulalım ve II. bölgedeki işaretlerini uygulayalım:

  • \(\sin\alpha = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{3}{5}\). II. bölgede sinüs pozitif olduğu için \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\).
  • \(\cos\alpha = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{4}{5}\). II. bölgede kosinüs negatif olduğu için \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\).
• 5. İstenen İfadeyi Hesaplama:

  Son olarak, \(\sin\alpha - \cos\alpha\) ifadesinin değerini hesaplayalım:

  \(\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{3}{5} - \left(-\frac{4}{5}\right)\)

  \(= \frac{3}{5} + \frac{4}{5}\)

  \(= \frac{3+4}{5}\)

  \(= \frac{7}{5}\)

Cevap C seçeneğidir.