Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Bize $0 < x < \frac{\pi}{2}$ aralığında $\cot x = \frac{1}{3}$ olduğu bilgisi verilmiş. Bu aralık, x açısının birinci bölgede olduğunu ve dolayısıyla $\sin x$ ile $\cos x$ değerlerinin pozitif olacağını gösterir.

• $\cot x$, bir dik üçgende komşu dik kenarın karşı dik kenara oranına eşittir. Yani, $\cot x = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{karşı dik kenar}}$.

• Eğer $\cot x = \frac{1}{3}$ ise, bir dik üçgen çizersek, x açısının komşu dik kenarını 1 birim, karşı dik kenarını ise 3 birim olarak alabiliriz.

• Şimdi Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüsü bulalım:

  $(\text{hipotenüs})^2 = (\text{karşı dik kenar})^2 + (\text{komşu dik kenar})^2$

  $(\text{hipotenüs})^2 = 3^2 + 1^2$

  $(\text{hipotenüs})^2 = 9 + 1$

  $(\text{hipotenüs})^2 = 10$

  $\text{hipotenüs} = \sqrt{10}$

• Şimdi $\sin x$ ve $\cos x$ değerlerini bulalım:

  $\sin x = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

  $\cos x = \frac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

• Son olarak, bizden istenen $\sin x + \cos x$ toplamını hesaplayalım:

  $\sin x + \cos x = \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}}$

  $\sin x + \cos x = \frac{3+1}{\sqrt{10}}$

  $\sin x + \cos x = \frac{4}{\sqrt{10}}$

Cevap C seçeneğidir.