Verilen eşitsizlikler:

• $2 < x < 5$
• $-1 < y < 7$

İfadeyi basitleştirmek için mutlak değerlerin içindeki terimlerin işaretlerini belirlememiz gerekiyor.

Adım 1: $|x+y+3|$ ifadesinin işaretini belirleyelim.

• $2 < x < 5$
• $-1 < y < 7$
• İki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak:
• $2 + (-1) < x + y < 5 + 7$
• $1 < x + y < 12$
• Şimdi her tarafa 3 ekleyelim:
• $1 + 3 < x + y + 3 < 12 + 3$
• $4 < x + y + 3 < 15$
• Bu durumda, $x+y+3$ ifadesi her zaman pozitiftir.
• Dolayısıyla, $|x+y+3| = x+y+3$.

Adım 2: $|x-y-7|$ ifadesinin işaretini belirleyelim.

• $2 < x < 5$
• $-1 < y < 7$ eşitsizliğini $-y$ için düzenleyelim. Eşitsizliği $-1$ ile çarptığımızda yön değiştirir:
• $-7 < -y < 1$
• Şimdi $x$ ve $-y$ eşitsizliklerini toplayalım:
• $2 + (-7) < x + (-y) < 5 + 1$
• $-5 < x - y < 6$
• Şimdi her taraftan 7 çıkaralım:
• $-5 - 7 < x - y - 7 < 6 - 7$
• $-12 < x - y - 7 < -1$
• Bu durumda, $x-y-7$ ifadesi her zaman negatiftir.
• Dolayısıyla, $|x-y-7| = -(x-y-7) = -x+y+7$.

Adım 3: Bulduğumuz ifadeleri yerine koyarak işlemi tamamlayalım.

• İfade: $|x+y+3| - |x-y-7|$
• Yerine koyarsak: $(x+y+3) - (-x+y+7)$
• Parantezleri açalım: $x+y+3 + x-y-7$
• Benzer terimleri birleştirelim: $(x+x) + (y-y) + (3-7)$
• Sonuç: $2x + 0 - 4 = 2x-4$

Cevap D seçeneğidir.