Verilen eşitlik:
$|2-x| = 2-y$

• Adım 1: Mutlak değerin tanımını kullanarak ilk ifadeyi değerlendirelim.

  Mutlak değerin sonucu daima non-negatif (sıfır veya pozitif) olmalıdır. Yani, $|2-x| \ge 0$ olmalıdır.

  Bu durumda, eşitliğin sağ tarafı da non-negatif olmalıdır: $2-y \ge 0$.

  Bu eşitsizliği çözdüğümüzde, $y \le 2$ sonucunu elde ederiz.

  Dolayısıyla, I. $y \le 2$ ifadesi daima doğrudur.

• Adım 2: İkinci ifadeyi değerlendirelim: II. $x \le y$.

  Bu ifadeyi test etmek için iki durum incelememiz gerekir:

  • Durum 1: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$

    Bu durumda, $|2-x| = 2-x$ olur.

    Eşitlik: $2-x = 2-y \implies x = y$.

    Eğer $x=y$ ise, $x \le y$ ifadesi doğrudur.

  • Durum 2: $2-x < 0 \implies x > 2$

    Bu durumda, $|2-x| = -(2-x) = x-2$ olur.

    Eşitlik: $x-2 = 2-y \implies x+y = 4$.

    Şimdi $x \le y$ ifadesinin bu durumda da doğru olup olmadığını kontrol edelim. $y = 4-x$ olduğundan, $x \le 4-x$ yazabiliriz.

    $2x \le 4 \implies x \le 2$.

    Ancak biz bu durumu $x > 2$ varsayımıyla incelemiştik. $x \le 2$ sonucu, $x > 2$ varsayımıyla çelişmektedir.

    Örneğin, $x=3$ alırsak (bu $x>2$ durumuna uyar), $3+y=4 \implies y=1$. Bu durumda $x=3$ ve $y=1$ olur, yani $x > y$ olur. Bu da $x \le y$ ifadesinin her zaman doğru olmadığını gösterir.

  Dolayısıyla, II. $x \le y$ ifadesi daima doğru değildir.

• Adım 3: Üçüncü ifadeyi değerlendirelim: III. $x \ge 2$ ise $x+y=4$'tür.

  Eğer $x \ge 2$ ise, $2-x \le 0$ olur.

  Bu durumda, $|2-x| = -(2-x) = x-2$ olur.

  Verilen eşitlik $|2-x| = 2-y$ olduğundan, yerine yazarsak:

  $x-2 = 2-y$

  Eşitliği düzenlersek:

  $x+y = 4$.

  Dolayısıyla, III. $x \ge 2$ ise $x+y=4$'tür ifadesi daima doğrudur.

• Adım 4: Sonuçları birleştirelim.

  I. ifade daima doğrudur.

  II. ifade daima doğru değildir.

  III. ifade daima doğrudur.

  Bu durumda, I ve III ifadeleri daima doğrudur.

Cevap E seçeneğidir.