Bu soruyu çözmek için, verilen eşitsizlik aralığını kullanarak mutlak değer ifadelerinin içindeki terimlerin işaretlerini belirlememiz gerekmektedir. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: İçteki mutlak değer ifadesini değerlendirelim.

  Verilen eşitsizlik \(3 < x < 4\)'tür. İlk olarak \(|x-4|\) ifadesini inceleyelim.

  Eğer \(x < 4\) ise, \(x-4\) ifadesi negatif bir değer alır. Örneğin, \(x=3.5\) için \(x-4 = -0.5\).

  Mutlak değerin tanımına göre, içi negatif olan bir ifade mutlak değer dışına çıkarken eksi ile çarpılır:

  \(|x-4| = -(x-4) = -x+4 = 4-x\)

• Adım 2: İfadeyi yerine koyup basitleştirelim.

  Şimdi bulduğumuz \(4-x\) değerini ana ifadeye yerleştirelim:

  \(||x-4|-5| = |(4-x)-5|\)

  Mutlak değerin içini basitleştirelim:

  \(|4-x-5| = |-x-1|\)

• Adım 3: Dıştaki mutlak değer ifadesini değerlendirelim.

  Şimdi \(|-x-1|\) ifadesini incelememiz gerekiyor. Yine \(3 < x < 4\) eşitsizliğini kullanalım.

  Eşitsizliği \(-x-1\) şekline getirelim:

  • Eşitsizliği \(-1\) ile çarpalım ve yönünü değiştirelim:

  \(3 < x < 4 \implies -3 > -x > -4\)

  Yani, \(-4 < -x < -3\)

  • Şimdi eşitsizliğin her tarafına \(-1\) ekleyelim:

  \(-4-1 < -x-1 < -3-1\)

  \(-5 < -x-1 < -4\)

  Bu sonuç, \(-x-1\) ifadesinin her zaman negatif bir değer aldığını gösterir (örneğin, \(-4.5\)).

  Mutlak değerin tanımına göre, içi negatif olan bir ifade mutlak değer dışına çıkarken eksi ile çarpılır:

  \(|-x-1| = -(-x-1) = x+1\)

Sonuç olarak, verilen ifadenin eşiti \(x+1\)'dir.

Cevap A seçeneğidir.