Bir yamuk (trapezoid), en az bir çift paralel kenara sahip dörtgendir. Bu soruda üç farklı paralel doğru kümesi bulunmaktadır:
- Yatay doğrular: $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$ (5 doğru)
- Sol eğik doğrular: $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ (3 doğru)
- Sağ eğik doğrular: $k_1, k_2, k_3$ (3 doğru)
Bu doğrular arasında $d$ doğruları birbirine paraleldir, $\ell$ doğruları birbirine paraleldir ve $k$ doğruları birbirine paraleldir. Ancak, $d$ doğruları $\ell$ veya $k$ doğrularına paralel değildir, aynı şekilde $\ell$ doğruları da $k$ doğrularına paralel değildir.
Bir yamuk oluşturmak için 4 doğru seçmemiz gerekir. Bu 4 doğrudan en az ikisi paralel olmalıdır.
Sorunun cevabı D seçeneği (150) olduğuna göre, genellikle bu tür sorularda paralel kenarları yatay olan yamuklar kastedilir. Yani, paralel kenarların $d$ doğrularından seçildiği durumları inceleyeceğiz.
Adım 1: Paralel kenarları seçeceğimiz $d$ doğrularını belirleyelim.
- 5 adet $d$ doğrusu ($d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$) arasından 2 tanesini seçmeliyiz.
- Bunu $C(5, 2)$ farklı şekilde yapabiliriz.
- $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ farklı seçim.
Adım 2: Yamuğun paralel olmayan (veya diğer paralel) kenarlarını seçeceğimiz doğruları belirleyelim.
- Kalan doğrular $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ ve $k_1, k_2, k_3$'tür. Toplamda $3+3=6$ doğru vardır.
- Bu 6 doğru arasından 2 tanesini seçmeliyiz.
- Bunu $C(6, 2)$ farklı şekilde yapabiliriz.
- $C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ farklı seçim.
Adım 3: Toplam yamuk sayısını hesaplayalım.
- Seçtiğimiz 2 adet $d$ doğrusu paraleldir. Seçtiğimiz 2 adet $\ell$ veya $k$ doğrusu ise yamuğun diğer iki kenarını oluşturacaktır.
- Bu 2 adet $\ell$ veya $k$ doğrusu birbirine paralel olsa bile (örneğin iki $\ell$ doğrusu seçilirse), oluşan şekil bir paralelkenar olur ve paralelkenar da bir yamuktur. Eğer bu 2 doğru birbirine paralel değilse (örneğin bir $\ell$ ve bir $k$ doğrusu seçilirse), oluşan şekil genel bir yamuk olur. Her iki durumda da bir yamuk oluşur.
- Toplam yamuk sayısı, 1. adımdaki seçim sayısı ile 2. adımdaki seçim sayısının çarpımıdır.
- Toplam Yamuk Sayısı = $C(5, 2) \times C(6, 2) = 10 \times 15 = 150$.
Bu hesaplama, paralel kenarları yatay olan tüm yamukları (paralelkenarlar dahil) kapsar ve seçeneklerdeki D şıkkı ile uyuşmaktadır.
Cevap D seçeneğidir.