Verilen ifadeyi çözmek için binom açılımının temel özelliklerinden faydalanacağız.

• Tüm binom katsayılarının toplamı aşağıdaki formülle verilir:

  $$ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = 2^n $$

• Soruda verilen ifade ise şudur:

  $$ \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} = 510 $$

• Yukarıdaki iki ifadeyi karşılaştırdığımızda, soruda verilen toplamın $2^n$ toplamından $\binom{n}{0}$ ve $\binom{n}{n}$ terimlerinin eksik olduğunu görürüz.

  Bu terimlerin değerleri sabittir:

  $$ \binom{n}{0} = 1 $$ $$ \binom{n}{n} = 1 $$

• Şimdi, $2^n$ formülünü kullanarak eksik terimleri yerine koyalım:

  $$ 2^n = \binom{n}{0} + \left( \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} \right) + \binom{n}{n} $$ $$ 2^n = 1 + 510 + 1 $$ $$ 2^n = 512 $$

• $n$ değerini bulmak için $512$'nin 2'nin kaçıncı kuvveti olduğunu belirlemeliyiz:

  $$ 2^1 = 2 $$ $$ 2^2 = 4 $$ $$ 2^3 = 8 $$ $$ 2^4 = 16 $$ $$ 2^5 = 32 $$ $$ 2^6 = 64 $$ $$ 2^7 = 128 $$ $$ 2^8 = 256 $$ $$ 2^9 = 512 $$

• Buradan $n=9$ olduğu anlaşılır.

Cevap C seçeneğidir.