Bu soruyu çözmek için binom açılım formülünü kullanacağız. Genel terim formülü $$(a+b)^n$$ açılımında $$(r+1)$$-inci terim için şu şekildedir:

• $$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$$

Verilen ifade $$(x^3 + \frac{2}{x})^8$$ şeklindedir. Burada:

• $$a = x^3$$
• $$b = \frac{2}{x} = 2x^{-1}$$
• $$n = 8$$

Şimdi genel terimi yazalım:

• $$T_{r+1} = \binom{8}{r} (x^3)^{8-r} (2x^{-1})^r$$
• $$T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{3(8-r)} 2^r x^{-r}$$
• $$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^r x^{24-3r-r}$$
• $$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^r x^{24-4r}$$

Bizden $x^4$ teriminin katsayısı isteniyor. Bu nedenle $x$'in kuvvetini 4'e eşitlemeliyiz:

• $$24 - 4r = 4$$
• $$20 = 4r$$
• $$r = 5$$

Şimdi $r=5$ değerini katsayı kısmına yerleştirelim. Katsayı $\binom{8}{r} 2^r$ şeklindedir:

• Katsayı $$= \binom{8}{5} 2^5$$
• $$\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$
• $$2^5 = 32$$
• Katsayı $$= 56 \times 32$$
• Katsayı $$= 1792$$

Bu durumda $x^4$ teriminin katsayısı 1792'dir.

Cevap B seçeneğidir.