Verilen problem, 5x5'lik bir ızgarada bulunan "KÜLTİGİN" kelimesinin en az bir harfini içeren dikdörtgen sayısını bulmaktır.

Bu tür problemleri çözmek için genel strateji şudur:

1. 5x5'lik ızgaradaki toplam dikdörtgen sayısını hesaplayın.
2. "KÜLTİGİN" kelimesinin hiçbir harfini içermeyen (yani tamamen boş hücrelerden oluşan) dikdörtgen sayısını hesaplayın.
3. Toplam dikdörtgen sayısından, boş dikdörtgen sayısını çıkararak en az bir harf içeren dikdörtgen sayısını bulun.

Adım 1: Toplam Dikdörtgen Sayısını Hesaplama

Bir $m \times n$ boyutundaki ızgarada toplam dikdörtgen sayısı $\binom{m+1}{2} \times \binom{n+1}{2}$ formülü ile bulunur.

Burada $m=5$ ve $n=5$ olduğundan:

Toplam Dikdörtgen Sayısı = $\binom{5+1}{2} \times \binom{5+1}{2} = \binom{6}{2} \times \binom{6}{2}$

$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

Toplam Dikdörtgen Sayısı = $15 \times 15 = 225$.

Adım 2: Harf İçermeyen (Boş) Dikdörtgen Sayısını Hesaplama

Öncelikle ızgaradaki harflerin konumlarını ve boş hücreleri belirleyelim. Harfler aşağıdaki hücrelerde bulunmaktadır (satır, sütun olarak):

• K: (2,2)
• Ü: (2,3)
• L: (2,4)
• T: (3,2)
• İ: (3,3)
• G: (3,4)
• İ: (4,2)
• N: (4,3)

Izgarayı 'O' (boş) ve 'X' (harfli) olarak görselleştirelim:

O O O O O  (Satır 1)
O X X X O  (Satır 2)
O X X X O  (Satır 3)
O X X O O  (Satır 4)
O O O O O  (Satır 5)

Boş dikdörtgenleri saymak için, her olası üst satır ($r_1$) ve alt satır ($r_2$) çifti için, bu satırlar arasında tamamen boş olan sütunları belirleyip bu sütunlarda oluşabilecek dikdörtgenleri sayarız.

Bir $1 \times k$ boyutundaki boş hücre dizisinde oluşabilecek dikdörtgen sayısı $\binom{k+1}{2}$'dir.

• $r_1=1$:
  • $r_2=1$: Satır 1 tamamen boş. Profil: [O,O,O,O,O]. Dikdörtgen: $\binom{5+1}{2} = 15$.
  • $r_2=2$: Satır 1-2. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $\binom{1+1}{2} + \binom{1+1}{2} = 1+1 = 2$.
  • $r_2=3$: Satır 1-3. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.
  • $r_2=4$: Satır 1-4. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.
  • $r_2=5$: Satır 1-5. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.

  Toplam ($r_1=1$ için): $15 + 2 + 2 + 2 + 2 = 23$.

• $r_1=2$:
  • $r_2=2$: Satır 2. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.
  • $r_2=3$: Satır 2-3. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.
  • $r_2=4$: Satır 2-4. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.
  • $r_2=5$: Satır 2-5. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.

  Toplam ($r_1=2$ için): $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

• $r_1=3$:
  • $r_2=3$: Satır 3. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.
  • $r_2=4$: Satır 3-4. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.
  • $r_2=5$: Satır 3-5. Profil: [O,X,X,X,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 5 (k=1). Dikdörtgen: $1+1 = 2$.

  Toplam ($r_1=3$ için): $2 + 2 + 2 = 6$.

• $r_1=4$:
  • $r_2=4$: Satır 4. Profil: [O,X,X,O,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 4-5 (k=2). Dikdörtgen: $\binom{1+1}{2} + \binom{2+1}{2} = 1+3 = 4$.
  • $r_2=5$: Satır 4-5. Profil: [O,X,X,O,O]. Boş sütunlar: Sütun 1 (k=1), Sütun 4-5 (k=2). Dikdörtgen: $1+3 = 4$.

  Toplam ($r_1=4$ için): $4 + 4 = 8$.

• $r_1=5$:
  • $r_2=5$: Satır 5 tamamen boş. Profil: [O,O,O,O,O]. Dikdörtgen: $\binom{5+1}{2} = 15$.

  Toplam ($r_1=5$ için): $15$.

Toplam boş dikdörtgen sayısı = $23 + 8 + 6 + 8 + 15 = 60$.

Adım 3: En Az Bir Harf İçeren Dikdörtgen Sayısını Hesaplama

En az bir harf içeren dikdörtgen sayısı = Toplam Dikdörtgen Sayısı - Boş Dikdörtgen Sayısı

En az bir harf içeren dikdörtgen sayısı = $225 - 60 = 165$.

Cevap A seçeneğidir.