Hileli bir zarda, tek sayı gelme olasılığı ile çift sayı gelme olasılığı arasındaki ilişkiyi ve asal sayı gelme olasılığını bulmak için adım adım ilerleyelim:
-
Tek ve Çift Sayı Olasılıklarını Tanımlama:
Bir zarda 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları bulunur. Tek sayılar (1, 3, 5) ve çift sayılar (2, 4, 6) vardır.
Tek sayı gelme olasılığına $P(\text{tek})$ diyelim. Çift sayı gelme olasılığına $P(\text{çift})$ diyelim.
Soruda verilen bilgiye göre, çift sayı gelme olasılığı, tek sayı gelme olasılığının 3 katıdır:
$$P(\text{çift}) = 3 \cdot P(\text{tek})$$
Bir zar atıldığında tüm olası sonuçların olasılıkları toplamı 1'e eşittir:
$$P(\text{tek}) + P(\text{çift}) = 1$$
-
Tek ve Çift Sayı Olasılıklarını Hesaplama:
İlk denklemi ikinci denkleme yerine koyarsak:
$$P(\text{tek}) + 3 \cdot P(\text{tek}) = 1$$
$$4 \cdot P(\text{tek}) = 1$$
$$P(\text{tek}) = \frac{1}{4}$$
Şimdi $P(\text{çift})$ değerini bulalım:
$$P(\text{çift}) = 3 \cdot P(\text{tek}) = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
Bu, tüm tek sayıların (1, 3, 5) toplam olasılığı $\frac{1}{4}$ ve tüm çift sayıların (2, 4, 6) toplam olasılığı $\frac{3}{4}$ olduğu anlamına gelir.
Her bir tek sayının (1, 3, 5) gelme olasılığı eşit olduğundan, her birinin olasılığı $\frac{1/4}{3} = \frac{1}{12}$'dir. Yani $P(1)=P(3)=P(5)=\frac{1}{12}$.
Her bir çift sayının (2, 4, 6) gelme olasılığı eşit olduğundan, her birinin olasılığı $\frac{3/4}{3} = \frac{1}{4}$'tür. Yani $P(2)=P(4)=P(6)=\frac{1}{4}$.
-
Asal Sayıları Belirleme:
Bir zardaki asal sayılar 2, 3 ve 5'tir.
-
Asal Sayı Gelme Olasılığını Hesaplama:
Asal sayı gelme olasılığı, bu asal sayıların gelme olasılıklarının toplamıdır:
$$P(\text{asal}) = P(2) + P(3) + P(5)$$
Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
$$P(\text{asal}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}$$
Paydaları eşitlemek için $\frac{1}{4}$'ü $\frac{3}{12}$ olarak yazalım:
$$P(\text{asal}) = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}$$
$$P(\text{asal}) = \frac{3+1+1}{12} = \frac{5}{12}$$
Cevap C seçeneğidir.