Bu soruyu çözmek için olasılık fonksiyonunun temel özelliklerini kullanacağız.
- Adım 1: $P(b')$ değerini bulma.
Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'dir. Yani $P(b) + P(b') = 1$.
Verilen $P(b) = \frac{1}{2}$ bilgisini kullanarak:
$$ \frac{1}{2} + P(b') = 1 $$
$$ P(b') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$
- Adım 2: $P(a)$ değerini bulma.
Soruda verilen $P(a) + P(b') = \frac{7}{10}$ denklemini kullanacağız.
Bulduğumuz $P(b') = \frac{1}{2}$ değerini yerine koyarsak:
$$ P(a) + \frac{1}{2} = \frac{7}{10} $$
$$ P(a) = \frac{7}{10} - \frac{1}{2} $$
Paydaları eşitlemek için $\frac{1}{2}$'yi $\frac{5}{10}$ olarak yazarız:
$$ P(a) = \frac{7}{10} - \frac{5}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$
- Adım 3: $P(c)$ değerini bulma.
Örnek uzay $E = \{a, b, c\}$ olduğundan, tüm elemanların olasılıklarının toplamı 1'e eşittir:
$$ P(a) + P(b) + P(c) = 1 $$
Bulduğumuz $P(a) = \frac{1}{5}$ ve verilen $P(b) = \frac{1}{2}$ değerlerini yerine koyarsak:
$$ \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + P(c) = 1 $$
Paydaları eşitleyelim (ortak payda 10):
$$ \frac{2}{10} + \frac{5}{10} + P(c) = 1 $$
$$ \frac{7}{10} + P(c) = 1 $$
$$ P(c) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10} $$
- Adım 4: $P(c')$ değerini bulma.
Yine bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'dir: $P(c) + P(c') = 1$.
Bulduğumuz $P(c) = \frac{3}{10}$ değerini yerine koyarsak:
$$ \frac{3}{10} + P(c') = 1 $$
$$ P(c') = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} $$
Cevap A seçeneğidir.