Verilen problemde, $A = \{1,2,3\}$ kümesi tanımlanmıştır. Bizden $A \times A$ kümesinden rastgele seçilen bir elemanın bileşenleri toplamının tek sayı olma olasılığı istenmektedir.

• Adım 1: $A \times A$ kümesinin elemanlarını belirleyelim.

  $A \times A$ kümesi, $A$ kümesinin elemanlarından oluşan tüm sıralı ikilileri içerir. $|A|=3$ olduğundan, $|A \times A| = |A| \times |A| = 3 \times 3 = 9$ eleman vardır.

  $A \times A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$

• Adım 2: Bileşenleri toplamı tek sayı olan elemanları bulalım.

  İki sayının toplamının tek olması için, sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir (Tek + Çift = Tek).

  • $(1,1) \rightarrow 1+1=2$ (Çift)
  • $(1,2) \rightarrow 1+2=3$ (Tek)
  • $(1,3) \rightarrow 1+3=4$ (Çift)
  • $(2,1) \rightarrow 2+1=3$ (Tek)
  • $(2,2) \rightarrow 2+2=4$ (Çift)
  • $(2,3) \rightarrow 2+3=5$ (Tek)
  • $(3,1) \rightarrow 3+1=4$ (Çift)
  • $(3,2) \rightarrow 3+2=5$ (Tek)
  • $(3,3) \rightarrow 3+3=6$ (Çift)

  Bileşenleri toplamı tek sayı olan elemanlar: $(1,2), (2,1), (2,3), (3,2)$. Toplam 4 tane uygun eleman vardır.

• Adım 3: Olasılığı hesaplayalım.

  Olasılık, (İstenen durum sayısı) / (Tüm durumların sayısı) formülüyle bulunur.

  İstenen durum sayısı = 4

  Tüm durumların sayısı = 9

  Olasılık $= \frac{4}{9}$

Cevap D seçeneğidir.