Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Toplam Olası Düzenleme Sayısını Belirleme

7 adet özdeş kibrit çöpü bulunmaktadır. Her bir kibrit çöpünün sadece bir ucu yanıcıdır. Bir kibrit çöpü, bir kenara yerleştirildiğinde iki farklı şekilde yönlendirilebilir:

1. Yanıcı ucu bir köşede, yanıcı olmayan ucu diğer köşede.
2. Yanıcı olmayan ucu bir köşede, yanıcı ucu diğer köşede.

Her bir kibrit çöpü için 2 farklı yönlendirme seçeneği olduğundan ve 7 kibrit çöpü birbirinden bağımsız olarak yerleştirilebildiğinden, toplam olası düzenleme sayısı $2^7$'dir.

Toplam Düzenleme Sayısı $= 2^7 = 128$.

• Adım 2: İstenen Durumu Tanımlama

İstenen durum, "herhangi iki kibrit çöpünün yanıcı uçlarının birbiriyle temas etmemesi"dir. Bu, yedigenin herhangi bir köşesinde birleşen iki kibrit çöpünün uçlarının ikisinin de yanıcı olmaması gerektiği anlamına gelir.

• Adım 3: İstenen Duruma Uygun Düzenleme Sayısını Bulma

Kibrit çöplerini saat yönünde $M_1, M_2, \dots, M_7$ olarak numaralandıralım. Her $M_i$ kibrit çöpü, $V_{i-1}$ ve $V_i$ köşeleri arasına yerleştirilmiştir (burada $V_0 = V_7$). $M_i$'nin $V_{i-1}$'deki ucuna sol uç, $V_i$'deki ucuna sağ uç diyelim.

Her kibrit çöpünün yönünü bir ikili değişkenle temsil edelim:

• $x_i = 0$: $M_i$'nin sol ucu yanıcı (B), sağ ucu yanıcı değil (N). (B, N)
• $x_i = 1$: $M_i$'nin sol ucu yanıcı değil (N), sağ ucu yanıcı (B). (N, B)

Bir $V_i$ köşesinde, $M_i$'nin sağ ucu ile $M_{i+1}$'in sol ucu birleşir (burada $M_8 = M_1$).

• $M_i$'nin sağ ucu yanıcıdır eğer $x_i=1$ ise.
• $M_{i+1}$'in sol ucu yanıcıdır eğer $x_{i+1}=0$ ise.

İstenen durum, herhangi bir köşede iki yanıcı ucun temas etmemesidir. Yani, $V_i$ köşesinde $M_i$'nin sağ ucunun yanıcı OLMAMASI VEYA $M_{i+1}$'in sol ucunun yanıcı OLMAMASI gerekir. Bu da şu anlama gelir: $x_i=1$ VE $x_{i+1}=0$ durumu yasaktır.

Bu koşul, $x_1, x_2, \dots, x_7$ şeklindeki dairesel ikili dizilerde "10" örüntüsünün bulunmaması gerektiği anlamına gelir.

Bu tür dizileri inceleyelim:

1. Eğer dizide hiç '1' yoksa: $0000000$. Bu dizide "10" örüntüsü bulunmaz. Bu geçerli bir düzenlemedir. (Tüm kibritler (B, N) şeklindedir. Her köşede (N, B) uçlar birleşir, yanıcı uçlar temas etmez.)
2. Eğer dizide en az bir '1' varsa: $x_k=1$ olsun. "10" örüntüsü yasak olduğundan, $x_{k+1}$ kesinlikle '0' olamaz, dolayısıyla $x_{k+1}$ '1' olmalıdır. Bu mantığı dairesel olarak tüm diziye uyguladığımızda, eğer bir $x_i=1$ ise, tüm $x_j$ değerleri '1' olmak zorundadır. Yani, $1111111$ dizisi geçerli bir düzenlemedir. (Tüm kibritler (N, B) şeklindedir. Her köşede (B, N) uçlar birleşir, yanıcı uçlar temas etmez.)

Bu iki durum dışında (yani $0000000$ ve $1111111$), içinde hem '0' hem de '1' barındıran hiçbir dizi bu koşulu sağlayamaz. Çünkü böyle bir dizide mutlaka bir '1'den sonra '0' gelmek zorunda kalacaktır (dairesel olarak).

Dolayısıyla, istenen duruma uygun sadece 2 düzenleme vardır.

• Adım 4: Olasılığı Hesaplama

Olasılık = (İstenen Duruma Uygun Düzenleme Sayısı) / (Toplam Olası Düzenleme Sayısı)

Olasılık $= \frac{2}{128} = \frac{1}{64}$.

Cevap D seçeneğidir.