Bu problemde, yedi kişinin rastgele bir sıraya girmesi ve bu kişilerin boy sırasına göre dizilme olasılığı sorulmaktadır. Sorunun kilit noktası, "beşinin boyu birbirine eşit olan" ifadesidir.

• Adım 1: Kişilerin boy gruplarını belirleme.

Toplam 7 kişi vardır. Bu kişilerden 5'inin boyu birbirine eşittir. Geriye kalan 2 kişinin boyları hakkında bilgi verilmemiştir. Ancak, "boy sırasına göre sıraya girme" ifadesi, farklı boy grupları olduğunu ve bu grupların kendi içinde veya birbirlerine göre sıralanabileceğini ima eder. Seçeneklere bakıldığında, en mantıklı yorum, geriye kalan 2 kişinin de kendi aralarında boylarının eşit olduğu, ancak ilk 5 kişiden farklı bir boya sahip olduğudur.

Yani, iki farklı boy grubu vardır:

• Grup 1: 5 kişi (boyları $H_1$)
• Grup 2: 2 kişi (boyları $H_2$)

Burada $H_1 \ne H_2$ olduğunu varsayıyoruz. Boy sırasına göre dizilmek için, örneğin en kısadan en uzuna doğru, $H_1$ boyundaki kişiler $H_2$ boyundaki kişilerden önce gelmelidir (veya tam tersi, bu olasılığı değiştirmez).

• Adım 2: Toplam olası sıralama sayısını hesaplama.

7 kişi birbirinden farklı bireylerdir. Bu 7 farklı kişinin bir çizgi boyunca rastgele sıralanma sayısı, 7 faktöriyel ($7!$) ile bulunur.

Toplam sıralama sayısı $= 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.

• Adım 3: Boy sırasına göre sıralanma sayısını (istenilen durum) hesaplama.

Kişilerin boy sırasına göre dizilmesi için (örneğin, $H_1 < H_2$ kabul edersek), ilk 5 sırayı $H_1$ boyundaki 5 kişi, son 2 sırayı ise $H_2$ boyundaki 2 kişi almalıdır.

• $H_1$ boyundaki 5 kişi kendi aralarında $5!$ farklı şekilde sıralanabilir.
• $H_2$ boyundaki 2 kişi kendi aralarında $2!$ farklı şekilde sıralanabilir.

İstenilen sıralama sayısı $= 5! \times 2! = (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) = 120 \times 2 = 240$.

• Adım 4: Olasılığı hesaplama.

Olasılık, istenilen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır.

$$P(\text{boy sırasına göre sıralanma}) = \frac{\text{İstenilen sıralama sayısı}}{\text{Toplam sıralama sayısı}}$$

$$P = \frac{5! \times 2!}{7!} = \frac{240}{5040}$$

Kesri sadeleştirelim:

$$P = \frac{240}{5040} = \frac{24}{504}$$

Her iki tarafı 24'e bölersek:

$$P = \frac{1}{21}$$

Cevap A seçeneğidir.