Verilen soruda, ABC üçgeni içinden seçilen rastgele bir noktanın yeşile boyalı BEC üçgeni içinde olma olasılığı istenmektedir. Bu olasılık, Alan(BEC) / Alan(ABC) oranı ile bulunur.

• Adım 1: Alan(BDC) ile Alan(ABC) arasındaki ilişkiyi bulalım.

  Üçgenler BDC ve ABC, C köşesinden AC kenarına indirilen yükseklikler aynı olduğunda, alanları taban uzunlukları oranıyla orantılıdır. Ancak burada B köşesinden AC kenarına indirilen yükseklikler aynıdır.

  Verilen bilgi: $|AD| = 2|DC|$.

  Bu durumda, $|AC| = |AD| + |DC| = 2|DC| + |DC| = 3|DC|$.

  Alan(BDC) ve Alan(ABC) üçgenlerinin B köşesinden AC kenarına indirilen yükseklikleri aynıdır. Dolayısıyla alanları, taban uzunlukları oranıyla orantılıdır:

  $\text{Alan(BDC)} = \frac{|DC|}{|AC|} \times \text{Alan(ABC)}$

  $\text{Alan(BDC)} = \frac{|DC|}{3|DC|} \times \text{Alan(ABC)}$

  $\text{Alan(BDC)} = \frac{1}{3} \times \text{Alan(ABC)}$

• Adım 2: Alan(BEC) ile Alan(BDC) arasındaki ilişkiyi bulalım.

  Üçgenler BEC ve BDC, C köşesinden BD kenarına indirilen yükseklikleri aynıdır. Dolayısıyla alanları, taban uzunlukları oranıyla orantılıdır.

  Verilen bilgi: $3|BE| = 2|DE|$. Bu ifadeyi oran olarak yazarsak $\frac{|BE|}{|DE|} = \frac{2}{3}$ olur.

  Yani, $|BE| = 2k$ ve $|DE| = 3k$ diyebiliriz. Bu durumda $|BD| = |BE| + |DE| = 2k + 3k = 5k$ olur.

  Alan(BEC) ve Alan(BDC) üçgenlerinin C köşesinden BD kenarına indirilen yükseklikleri aynıdır. Dolayısıyla alanları, taban uzunlukları oranıyla orantılıdır:

  $\text{Alan(BEC)} = \frac{|BE|}{|BD|} \times \text{Alan(BDC)}$

  $\text{Alan(BEC)} = \frac{2k}{5k} \times \text{Alan(BDC)}$

  $\text{Alan(BEC)} = \frac{2}{5} \times \text{Alan(BDC)}$

• Adım 3: Alan(BEC) ile Alan(ABC) arasındaki ilişkiyi bulalım.

  Adım 1'de bulduğumuz $\text{Alan(BDC)} = \frac{1}{3} \times \text{Alan(ABC)}$ ifadesini Adım 2'deki denklemde yerine koyalım:

  $\text{Alan(BEC)} = \frac{2}{5} \times \left( \frac{1}{3} \times \text{Alan(ABC)} \right)$

  $\text{Alan(BEC)} = \frac{2}{15} \times \text{Alan(ABC)}$

• Adım 4: Olasılığı hesaplayalım.

  İstenen olasılık, Alan(BEC) / Alan(ABC) oranıdır:

  $\text{Olasılık} = \frac{\text{Alan(BEC)}}{\text{Alan(ABC)}} = \frac{\frac{2}{15} \times \text{Alan(ABC)}}{\text{Alan(ABC)}} = \frac{2}{15}$

Cevap E seçeneğidir.