Verilen eşitsizliği adım adım çözerek başlayalım:

• Eşitsizlik: $|2x - 1| + |2 - 4x| \leq 15$

• İkinci mutlak değeri düzenleyelim: $|2 - 4x| = |2(1 - 2x)| = 2|1 - 2x|$.

  Ayrıca, $|1 - 2x| = |-(2x - 1)| = |2x - 1|$ olduğundan, eşitsizlik şu hale gelir:

  $|2x - 1| + 2|2x - 1| \leq 15$

• Mutlak değerleri toplayalım:

  $3|2x - 1| \leq 15$

• Her iki tarafı 3'e bölelim:

  $|2x - 1| \leq 5$

• Mutlak değer eşitsizliğini açalım:

  $-5 \leq 2x - 1 \leq 5$

• Her tarafa 1 ekleyelim:

  $-5 + 1 \leq 2x \leq 5 + 1$

  $-4 \leq 2x \leq 6$

• Her tarafı 2'ye bölelim:

  $-2 \leq x \leq 3$

Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi $S = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$'tür. Bu kümede toplam 6 tam sayı vardır.

Şimdi olasılık kısmına geçelim:

• Toplam Durum Sayısı: Bu 6 tam sayı arasından rastgele iki farklı sayı seçilecektir. Bu bir kombinasyon problemidir:

  Toplam durum sayısı $= C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

• İstenen Durum Sayısı: Seçilen iki sayının çarpımının negatif olması isteniyor. İki sayının çarpımının negatif olması için, sayılardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.

  • Negatif sayılar: $\{-2, -1\}$ (2 adet)
  • Pozitif sayılar: $\{1, 2, 3\}$ (3 adet)
  • Sıfır: $\{0\}$ (1 adet - çarpımı negatif yapmaz)

  Bir negatif sayı ve bir pozitif sayı seçme kombinasyonları:

  İstenen durum sayısı $= C(2, 1) \times C(3, 1) = 2 \times 3 = 6$.

• Olasılık: İstenen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır.

  Olasılık $= \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Durum Sayısı}} = \frac{6}{15}$

• Kesri sadeleştirelim:

  Olasılık $= \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$

Cevap C seçeneğidir.