Sorunun Çözümü
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen rakamlarla oluşturulabilecek tüm 7 basamaklı doğal sayıların sayısını ve ardından çift olan 7 basamaklı sayıların sayısını bulmalıyız. Olasılık, çift sayı sayısının toplam sayı sayısına oranı olacaktır.
Adım 1: Toplam 7 basamaklı sayı sayısını hesaplayın.
- Verilen rakamlar: 1, 1, 2, 2, 0, 0, 3 (toplam 7 rakam).
- Bu rakamlarla oluşturulabilecek tüm permütasyonlar (0 ile başlayanlar dahil): $$ \frac{7!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{5040}{8} = 630 $$
- Ancak, bir sayının 7 basamaklı olması için ilk basamağı 0 olamaz. Bu nedenle, 0 ile başlayan durumları toplamdan çıkarmalıyız:
- İlk basamağa 0 koyduğumuzda kalan rakamlar: 1, 1, 2, 2, 0, 3.
- Bu 6 rakamla oluşturulabilecek permütasyonlar: $$ \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{4} = 180 $$
- Toplam 7 basamaklı doğal sayı sayısı (N): $$ N = 630 - 180 = 450 $$
Adım 2: Çift olan 7 basamaklı sayı sayısını hesaplayın.
Bir sayının çift olması için son basamağının 0 veya 2 olması gerekir. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim:
- Durum 1: Son basamak 0.
- Son basamağa bir 0 koyduğumuzda kalan rakamlar: 1, 1, 2, 2, 0, 3.
- Bu 6 rakamla oluşturulabilecek tüm permütasyonlar: $$ \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{4} = 180 $$
- Bu sayılardan ilk basamağı 0 olanları çıkarmalıyız (çünkü bunlar 6 basamaklı olur):
- İlk basamağa 0 koyduğumuzda kalan rakamlar: 1, 1, 2, 2, 3.
- Bu 5 rakamla oluşturulabilecek permütasyonlar: $$ \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{4} = 30 $$
- Son basamağı 0 olan 7 basamaklı çift sayı sayısı: $$ 180 - 30 = 150 $$
- Durum 2: Son basamak 2.
- Son basamağa bir 2 koyduğumuzda kalan rakamlar: 1, 1, 2, 0, 0, 3.
- Bu 6 rakamla oluşturulabilecek tüm permütasyonlar: $$ \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{4} = 180 $$
- Bu sayılardan ilk basamağı 0 olanları çıkarmalıyız:
- İlk basamağa 0 koyduğumuzda kalan rakamlar: 1, 1, 2, 0, 3.
- Bu 5 rakamla oluşturulabilecek permütasyonlar: $$ \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{2} = 60 $$
- Son basamağı 2 olan 7 basamaklı çift sayı sayısı: $$ 180 - 60 = 120 $$
- Toplam çift sayı sayısı (E): $$ E = 150 + 120 = 270 $$
Adım 3: Olasılığı hesaplayın.
Olasılık, istenen durum sayısının (çift sayılar) tüm durum sayısına (tüm 7 basamaklı sayılar) oranıdır:
$$ P(\text{çift sayı}) = \frac{\text{Çift sayı sayısı}}{\text{Toplam sayı sayısı}} = \frac{E}{N} = \frac{270}{450} $$Kesri sadeleştirelim:
$$ P(\text{çift sayı}) = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} $$Cevap D seçeneğidir.