Bu soruyu çözmek için, tüm olası sıralama sayısını (örnek uzay) ve istenen koşulu sağlayan sıralama sayısını (olay uzayı) bulup oranlayacağız.

• Adım 1: Toplam Olası Sıralama Sayısı (Örnek Uzay)

Toplamda 4 kız ve 5 erkek olmak üzere 9 kişi vardır. Bu 9 kişinin yan yana sıralanması için toplam olası durum sayısı, 9 kişinin permütasyonu kadardır:

Toplam durum sayısı = \(9!\)

• Adım 2: İstenen Durum Sayısı (Olay Uzayı)

İstenen durum, her iki uçta kızların olmasıdır. Bu durumu adım adım hesaplayalım:

• Uçlara Kızları Yerleştirme: 4 kız arasından 2 kız seçip uçlara yerleştirmemiz gerekiyor. Bu, permütasyon ile hesaplanır: \(P(4,2)\)

\(P(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12\)

Yani, uçlara kızları 12 farklı şekilde yerleştirebiliriz.

• Kalan Kişileri Yerleştirme: Uçlara 2 kız yerleştirdikten sonra geriye 2 kız ve 5 erkek olmak üzere toplam 7 kişi kalır. Bu 7 kişi, ortadaki 7 yere \(7!\) farklı şekilde sıralanabilir.

Kalan kişilerin sıralanma sayısı = \(7!\)

İstenen durum sayısı = (Uçlara kızları yerleştirme sayısı) \(\times\) (Kalan kişileri yerleştirme sayısı)

İstenen durum sayısı = \(P(4,2) \times 7! = 12 \times 7!\)

• Adım 3: Olasılığı Hesaplama

Olasılık, istenen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır:

Olasılık = \(\frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Toplam durum sayısı}} = \frac{12 \times 7!}{9!}\)

Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim:

\(9! = 9 \times 8 \times 7!\)

Olasılık = \(\frac{12 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} = \frac{12}{9 \times 8} = \frac{12}{72}\)

Kesri sadeleştirdiğimizde:

Olasılık = \(\frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \frac{1}{6}\)

Cevap A seçeneğidir.