Verilen kümeyi ve elemanlarını belirleyelim:

• $A = \{x: |x - 1| < 4, x \in \mathbb{Z}\}$ eşitsizliğini çözelim.
• $|x - 1| < 4 \implies -4 < x - 1 < 4$.
• Her tarafa 1 ekleyelim: $-4 + 1 < x < 4 + 1 \implies -3 < x < 5$.
• $x$ bir tam sayı olduğu için, küme $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ olur.
• Kümenin eleman sayısı $|A| = 7$'dir.

Şimdi kümedeki çift ve tek sayıları belirleyelim:

• Çift sayılar: $\{-2, 0, 2, 4\}$. Toplam 4 tane çift sayı vardır.
• Tek sayılar: $\{-1, 1, 3\}$. Toplam 3 tane tek sayı vardır.

Bu kümeden rastgele seçilen iki elemanın çarpımının çift olma olasılığını bulmak için tüm olası durumları ve istenen durumları hesaplayalım:

• Tüm olası durumlar: 7 elemanlı bir kümeden 2 eleman seçme sayısı $C(7, 2)$ ile bulunur.
• $C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

İki sayının çarpımının çift olması için en az birinin çift olması gerekir. Bu durumu doğrudan hesaplamak yerine, tüm durumlardan çarpımın tek olduğu durumu çıkarmak daha kolaydır.

• Çarpımın tek olduğu durumlar: İki sayının çarpımının tek olması için her iki sayının da tek olması gerekir.
• Kümede 3 tane tek sayı vardır. Bu 3 tek sayıdan 2 tanesini seçme sayısı $C(3, 2)$ ile bulunur.
• $C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.

Çarpımın çift olduğu durumlar:

• Toplam durumlar - Çarpımın tek olduğu durumlar = $21 - 3 = 18$.

Olasılık hesabı:

• İstenen olasılık = (Çarpımın çift olduğu durumlar) / (Tüm olası durumlar)
• $P(\text{çift}) = \frac{18}{21}$.
• Kesri sadeleştirelim: $\frac{18}{21} = \frac{6 \times 3}{7 \times 3} = \frac{6}{7}$.

Cevap C seçeneğidir.