Bu soruyu çözmek için öncelikle tüm olası oturma düzenlerinin sayısını (örnek uzay) ve ardından erkeklerin bir arada oturduğu durumların sayısını (istenen olay) bulmalıyız. Olasılık, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır.

• Adım 1: Toplam Oturma Düzeni Sayısı

Toplamda 3 kız ve 2 erkek olmak üzere 5 kişi vardır. Bu 5 kişi düz bir sıraya $5!$ farklı şekilde oturabilir.

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

Yani, örnek uzayın eleman sayısı 120'dir.

• Adım 2: Erkeklerin Bir Arada Oturduğu Düzen Sayısı

Erkeklerin bir arada oturmasını istediğimiz için, 2 erkeği tek bir "blok" veya "grup" olarak düşünebiliriz. Bu durumda elimizde şunlar olur:

• Kız 1
• Kız 2
• Kız 3
• Erkek Grubu (E1E2)

Bu 4 "öğe" kendi aralarında $4!$ farklı şekilde sıralanabilir.

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Ancak, erkeklerin oluşturduğu "blok" içindeki 2 erkek de kendi aralarında yer değiştirebilir (E1E2 veya E2E1). Bu da $2!$ farklı şekilde gerçekleşir.

$$2! = 2 \times 1 = 2$$

Dolayısıyla, erkeklerin bir arada oturduğu toplam düzen sayısı $4! \times 2!$ çarpımı kadardır.

$$24 \times 2 = 48$$

Yani, istenen olayın eleman sayısı 48'dir.

• Adım 3: Olasılığı Hesaplama

Olasılık, istenen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır:

$$P(\text{erkekler bir arada}) = \frac{\text{Erkeklerin bir arada oturduğu düzen sayısı}}{\text{Toplam oturma düzeni sayısı}}$$

$$P = \frac{48}{120}$$

Bu kesri sadeleştirelim. Her iki sayıyı da 24'e bölebiliriz (veya adım adım 12'ye, sonra 2'ye):

$$\frac{48 \div 24}{120 \div 24} = \frac{2}{5}$$

Erkeklerin bir arada oturma olasılığı $\frac{2}{5}$'tir.

Cevap D seçeneğidir.