Verilen toplamı adım adım çözelim:

• Verilen toplamı matematiksel gösterimle ifade edelim:

  \[ S = \binom{14}{0} + 2\binom{14}{1} + 3\binom{14}{2} + \dots + 15\binom{14}{14} \]

  Bu toplamı genel terimle yazarsak:

  \[ S = \sum_{k=0}^{14} (k+1)\binom{14}{k} \]

• Toplamı iki ayrı parçaya ayıralım:

  \[ S = \sum_{k=0}^{14} k\binom{14}{k} + \sum_{k=0}^{14} \binom{14}{k} \]

• İlk parçayı hesaplayalım: \( \sum_{k=0}^{14} k\binom{14}{k} \)

  Kombinasyonlarda bilinen bir özdeşlik vardır: \( k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1} \). Bu özdeşliği \( n=14 \) için uygulayalım:

  \[ k\binom{14}{k} = 14\binom{13}{k-1} \]

  \( k=0 \) için terim \( 0 \cdot \binom{14}{0} = 0 \) olduğundan, toplam \( k=1 \) den başlar:

  \[ \sum_{k=1}^{14} k\binom{14}{k} = \sum_{k=1}^{14} 14\binom{13}{k-1} \]

  İndeksi \( j = k-1 \) olarak değiştirelim. \( k=1 \Rightarrow j=0 \), \( k=14 \Rightarrow j=13 \):

  \[ 14 \sum_{j=0}^{13} \binom{13}{j} \]

  Binom açılımından biliyoruz ki \( \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^n \). Dolayısıyla \( \sum_{j=0}^{13} \binom{13}{j} = 2^{13} \).

  İlk parçanın sonucu: \( 14 \cdot 2^{13} \).

• İkinci parçayı hesaplayalım: \( \sum_{k=0}^{14} \binom{14}{k} \)

  Bu, doğrudan binom açılımının bir sonucudur:

  \[ \sum_{k=0}^{14} \binom{14}{k} = 2^{14} \]

• İki parçayı birleştirelim ve sonucu sadeleştirelim:

  \[ S = 14 \cdot 2^{13} + 2^{14} \] \[ S = 14 \cdot 2^{13} + 2 \cdot 2^{13} \] \[ S = (14 + 2) \cdot 2^{13} \] \[ S = 16 \cdot 2^{13} \] \[ S = 2^4 \cdot 2^{13} \] \[ S = 2^{4+13} \] \[ S = 2^{17} \]

Cevap B seçeneğidir.