Bu soruyu çözmek için binom açılımındaki ortanca terimi bulma formülünü kullanacağız.

• Adım 1: Toplam Terim Sayısını Bulma

Bir \((a+b)^n\) ifadesinin açılımında \(n+1\) adet terim bulunur. Burada \(n=8\) olduğu için, açılımda \(8+1=9\) terim vardır.

• Adım 2: Ortanca Terimin Sırasını Belirleme

Tek sayıda terim olduğunda ortanca terim \(\frac{n+1}{2}\) sıradaki terimdir. Yani, \(\frac{9+1}{2} = 5\). terim ortanca terimdir.

• Adım 3: Genel Terim Formülünü Kullanma

Binom açılımında \((k+1)\). terim \(T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\) formülü ile bulunur. Biz 5. terimi aradığımız için \(k+1=5 \Rightarrow k=4\) olacaktır.

Verilen ifade \((x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}})^8\) olduğundan:

• \(n=8\)
• \(k=4\)
• \(a=x^2\)
• \(b=\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}\)
• Adım 4: Terimi Hesaplama

Şimdi değerleri formülde yerine koyalım:

\(T_{4+1} = T_5 = \binom{8}{4} (x^2)^{8-4} (x^{-1/2})^4\)

\(T_5 = \binom{8}{4} (x^2)^4 (x^{-1/2})^4\)

• Adım 5: Kombinasyon ve Üslü İfadeleri Hesaplama

Önce kombinasyonu hesaplayalım:

\(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\)

Şimdi x'li terimleri hesaplayalım:

\((x^2)^4 = x^{2 \times 4} = x^8\)

\((x^{-1/2})^4 = x^{(-1/2) \times 4} = x^{-4/2} = x^{-2}\)

• Adım 6: Sonucu Birleştirme

Bulduğumuz değerleri birleştirelim:

\(T_5 = 70 \cdot x^8 \cdot x^{-2}\)

\(T_5 = 70 \cdot x^{8-2}\)

\(T_5 = 70x^6\)

Bu sonuç seçeneklerde B şıkkına karşılık gelmektedir.

Cevap B seçeneğidir.