Sorunun Çözümü
- Binom açılımındaki genel terim formülü `$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$` şeklindedir.
- Verilen ifade `$ (u + 2\vartheta)^{10} $` olduğundan, `$n = 10$`, `$a = u$` ve `$b = 2\vartheta$`'dir.
- İstenen terim `$x \cdot u^8 \cdot \vartheta^y$`'dir. `$u$`'nun kuvveti `$n-k = 8$` olmalıdır. Buradan `$10 - k = 8 \Rightarrow k = 2$` bulunur.
- `$\vartheta$`'nın kuvveti `$y$` ve `$b$`'nin kuvveti `$k$` olduğundan, `$y = k = 2$`'dir.
- Terimin katsayısı `$x$`'i bulmak için `$k=2$` değerini genel terim formülünde yerine koyarız: `$T_{2+1} = \binom{10}{2} u^{10-2} (2\vartheta)^2$`.
- Bu ifade `$T_3 = \binom{10}{2} u^8 (2^2 \vartheta^2) = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot 4 \cdot u^8 \cdot \vartheta^2 = 45 \cdot 4 \cdot u^8 \cdot \vartheta^2 = 180 \cdot u^8 \cdot \vartheta^2$` olur.
- Buna göre, `$x = 180$` ve `$y = 2$`'dir.
- `$x + y$` toplamı `$180 + 2 = 182$`'dir.
- Doğru Seçenek E'dır.