Merhaba sevgili 10. sınıf öğrencileri!

Kombinasyon konusu, matematik dersinin en keyifli ve bazen de en zorlayıcı konularından biridir. Özellikle geometrik şekillerin sayılmasıyla ilgili problemler, dikkatli analiz ve doğru stratejiler gerektirir. Bu ders notu, "10. Sınıf Kombinasyon Test 6" sorularını bir bütün olarak ele alarak, bu tür problemlerde başarılı olmanız için gerekli temel bilgileri, formülleri ve kritik ipuçlarını sunmaktadır.

Özet

Bu ders notu, kombinasyonun geometrik uygulamalarına odaklanmaktadır. Başlıca ele alınan konular şunlardır:

• Noktalarla oluşturulan üçgen, dörtgen ve çokgenlerin sayısı.
• Çember üzerindeki noktalarla özel üçgen (dik üçgen) ve çokgenlerin oluşturulması.
• Paralel doğrularla oluşturulan paralelkenarlar ve belirli bir bölgeyi kapsayan paralelkenarların sayımı.
• Birim karelerden oluşan ızgaralarda dikdörtgen, kare ve kare olmayan dikdörtgenlerin sayısı.
• Düzensiz şekillerde veya daire dilimlerinde kombinasyon uygulamaları.

Hazırsanız, kombinasyon dünyasının kapılarını aralayalım!

1. Kombinasyonun Temel Prensibi

• Kombinasyon (C(n,r)): n farklı eleman arasından r tane elemanı seçme işlemidir. Sıralama önemli değildir. Formülü: C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)
• Geometrik kombinasyon problemlerinde, genellikle belirli sayıda nokta veya doğru arasından seçim yaparak istenen şekli oluştururuz.

2. Noktalarla Oluşturulan Geometrik Şekiller

2.1. Üçgen Oluşturma

• Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n farklı nokta ile C(n,3) farklı üçgen oluşturulabilir.
• ⚠️ Dikkat: Eğer n noktadan k tanesi doğrusal ise, bu k noktadan seçilecek 3 nokta üçgen oluşturmaz. Bu durumda toplam üçgen sayısından C(k,3) çıkarılmalıdır: C(n,3) - C(k,3).
• 💡 İpucu: Bir köşesi sabit olan ve karşı kenarı paralel doğrular üzerinde olan üçgenleri sayarken, sabit köşeden çıkan ışınların kestiği paralel doğrular üzerindeki nokta seçimlerini düşünün. Örneğin, bir tepe noktasından çıkan ışınlar ve bu ışınları kesen paralel doğrular varsa, tepe noktasını bir köşe olarak alıp, diğer iki köşeyi paralel doğrular üzerindeki noktalardan seçeriz.

2.2. Dörtgen Oluşturma

• Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n farklı nokta ile C(n,4) farklı dörtgen oluşturulabilir.
• ⚠️ Dikkat: Eğer n noktadan k tanesi doğrusal ise, bu k noktadan seçilecek 3 nokta ve kalan (n-k) noktadan 1 nokta ile dörtgen değil, üçgen oluşur. Ayrıca k noktadan 4'ü seçilirse dörtgen oluşmaz (doğru parçası olur). Bu durumlar toplamdan çıkarılmalıdır: C(n,4) - C(k,3) * C(n-k,1) - C(k,4).

2.3. Çokgen Oluşturma (Genel)

• n farklı nokta ile oluşturulabilecek en çok çokgen sayısı, C(n,3) + C(n,4) + ... + C(n,n) şeklinde hesaplanır. Bu, 2^n - C(n,0) - C(n,1) - C(n,2) olarak da ifade edilebilir (tüm alt kümelerden 0, 1, 2 elemanlı olanları çıkarmak, çünkü bunlar çokgen oluşturmaz).

2.4. Çember Üzerindeki Noktalarla Şekil Oluşturma

• Çember üzerindeki noktalar hiçbir zaman doğrusal değildir. Bu, doğrusallık probleminden kaynaklanan çıkarmaları yapmamızı gerektirmez.
• Dik Üçgen Oluşturma: Çember üzerindeki n nokta ile oluşturulabilecek dik üçgen sayısı, bir kenarı çap olan üçgenlerin sayısına eşittir. Eğer n çift sayı ise, n/2 adet çap vardır. Her bir çap için (n-2) farklı üçüncü köşe seçilebilir. Dolayısıyla (n/2) * (n-2) dik üçgen oluşur.
• Genel Çokgen Oluşturma: Çember üzerindeki n nokta ile oluşturulabilecek çokgen sayısı C(n,3) + C(n,4) + ... + C(n,n) formülüyle bulunur.

3. Paralel Doğrularla Oluşturulan Şekiller

3.1. Paralelkenar Oluşturma

• Birbirine paralel m adet doğru ile bu doğruları kesen ve kendi aralarında paralel n adet doğru varsa, C(m,2) * C(n,2) farklı paralelkenar oluşturulabilir.
• 💡 İpucu: Paralelkenar oluşturmak için iki yatay ve iki dikey (veya eğik) paralel doğru seçmek gerekir.

3.2. Belirli Bir Bölgeyi Kapsayan Paralelkenarlar

• Belirli bir küçük paralelkenarı kapsayan büyük paralelkenarları sayarken, bu küçük paralelkenarın solundaki, sağındaki, üstündeki ve altındaki paralel doğruları ayrı ayrı düşünmek gerekir.
• Örneğin, turuncu bölgenin solunda x adet dikey doğru, sağında y adet dikey doğru; üstünde a adet yatay doğru, altında b adet yatay doğru varsa:
  • Turuncu bölgenin solundaki dikey doğrular + turuncu bölgenin sol kenarını oluşturan doğru: (x+1) seçenek.
  • Turuncu bölgenin sağındaki dikey doğrular + turuncu bölgenin sağ kenarını oluşturan doğru: (y+1) seçenek.
  • Turuncu bölgenin üstündeki yatay doğrular + turuncu bölgenin üst kenarını oluşturan doğru: (a+1) seçenek.
  • Turuncu bölgenin altındaki yatay doğrular + turuncu bölgenin alt kenarını oluşturan doğru: (b+1) seçenek.
• Bu seçimler, turuncu bölgeyi kapsayan paralelkenarın sol kenarı için (x+1) seçenek, sağ kenarı için (y+1) seçenek, üst kenarı için (a+1) seçenek ve alt kenarı için (b+1) seçenek olarak değerlendirilir.
  Toplam: (Sol kenar için seçilebilecek doğru sayısı) * (Sağ kenar için seçilebilecek doğru sayısı) * (Üst kenar için seçilebilecek doğru sayısı) * (Alt kenar için seçilebilecek doğru sayısı)
  Bu, C(sol_doğru_sayısı, 1) * C(sağ_doğru_sayısı, 1) * C(üst_doğru_sayısı, 1) * C(alt_doğru_sayısı, 1) şeklinde düşünülerek bulunur.

4. Birim Karelerden Oluşan Şekillerdeki Kombinasyonlar

4.1. Dikdörtgen Oluşturma

• Bir m x n'lik birim kareler ızgarasında toplam (m+1) adet yatay ve (n+1) adet dikey doğru bulunur.
• Bu doğrular arasından 2 yatay ve 2 dikey doğru seçilerek C(m+1,2) * C(n+1,2) farklı dikdörtgen oluşturulabilir.

4.2. Kare Oluşturma

• Bir m x n'lik birim kareler ızgarasında kareleri saymak için farklı boyutlardaki kareleri ayrı ayrı saymak gerekir.
• 1x1 kare sayısı: m * n
• 2x2 kare sayısı: (m-1) * (n-1)
• 3x3 kare sayısı: (m-2) * (n-2)
• ...
• Bu işlem, (m-k+1) * (n-k+1) ifadesi 0 veya negatif olana kadar devam eder.
• 💡 İpucu: Eğer ızgara nxn ise, kare sayısı 1^2 + 2^2 + ... + n^2 formülüyle bulunur.
• ⚠️ Dikkat: "Alanı belirli bir değerden büyük" kareler sorulduğunda, o alana karşılık gelen kenar uzunluğundan daha büyük kenar uzunluğuna sahip kareleri saymalısınız. Örneğin, alanı 4 birimkareden büyük demek, kenar uzunluğu 2 birimden büyük (yani 3x3, 4x4 vb.) kareleri saymak demektir.

4.3. Kare Olmayan Dikdörtgenler

• Toplam dikdörtgen sayısından (C(m+1,2) * C(n+1,2)) toplam kare sayısı çıkarılarak bulunur.

4.4. Düzensiz Şekillerde Dikdörtgen/Kare Sayısı

• Şekil bir bütün ızgara değilse, genel formüller doğrudan uygulanamaz.
• Bu tür durumlarda şekli mantıklı parçalara ayırarak veya her bir dikdörtgenin/karenin sol üst köşesini referans alarak dikkatli bir sayım yapmak gerekebilir.
• Her bir dikdörtgenin/karenin sol üst köşesini belirleyip, bu köşeden başlayarak kaç farklı dikdörtgen/kare oluşturulabileceğini sistematik olarak saymak bir yöntemdir.

5. Daire Dilimi (Sektör) Sayısı

• Bir merkezden çıkan n adet ışın (radyal çizgi) ve bu ışınları kesen m adet yay (konsantrik çember parçası) varsa, daire dilimi sayısını bulmak için iki ışın ve iki yay seçmek gerekir.
• C(n,2) * C(m,2) formülü, eğer tüm ışınlar ve yaylar birbirini kesiyorsa ve her bir kesişim noktası bir dilim oluşturuyorsa geçerli olabilir.
• ⚠️ Dikkat: Şeklin yapısına göre bu formül değişebilir. Genellikle, ışınların oluşturduğu açısal bölgeler (C(n,2)) ve yayların oluşturduğu radyal bölgeler (C(m,2)) ayrı ayrı düşünülerek çarpılır.

Genel İpuçları ve Stratejiler

• Problemi Küçük Parçalara Ayırın: Karmaşık görünen problemleri daha yönetilebilir alt problemlere bölün.
• Görseli Dikkatlice İnceleyin: Verilen şekil üzerindeki tüm noktaları, doğruları, paralel kenarları ve diğer özellikleri doğru saydığınızdan emin olun.
• Özel Durumları Göz Ardı Etmeyin: Doğrusallık, paralellik, çember üzerindeki noktalar gibi özel durumlar çözüm yöntemini değiştirebilir.
• Sistematik Sayım Yapın: Eksik veya fazla saymamak için belirli bir düzen içinde sayım yapın (örneğin, boyutlara göre, konumlarına göre).
• Formülleri Anlayın, Ezberlemeyin: Formüllerin arkasındaki mantığı kavramak, farklı problem tiplerine uyum sağlamanıza yardımcı olur.
• Pratik Yapın: Kombinasyon, bol pratikle gelişen bir konudur. Ne kadar çok soru çözerseniz, farklı senaryoları o kadar iyi tanırsınız.

Bu ders notu, kombinasyonun geometrik uygulamaları konusunda size sağlam bir temel sunmayı amaçlamaktadır. Başarılar dilerim!