Bu problemi çözmek için, öncelikle Serpil ve Ümit'in birlikte olma durumunu tüm durumlardan çıkararak istenmeyen durumu eleyeceğiz.

• Adım 1: Toplam olası ekip sayısını hesaplayın.

Sınıfta toplam 5 kız ve 5 erkek olmak üzere 10 öğrenci bulunmaktadır. Bu 10 öğrenciden 3 kişilik bir münazara ekibi oluşturulacaktır. Herhangi bir kısıtlama olmadan kaç farklı ekip oluşturulabileceğini kombinasyon formülü ile buluruz:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Burada $n=10$ (toplam öğrenci sayısı) ve $k=3$ (ekipteki kişi sayısı).

$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$$

Yani, toplam 120 farklı ekip oluşturulabilir.

• Adım 2: Serpil ve Ümit'in birlikte olduğu ekip sayısını hesaplayın.

Serpil ve Ümit'in ekipte birlikte olmasını istemiyoruz. Bu durumu tüm durumlardan çıkarmak için, önce Serpil ve Ümit'in ekipte birlikte olduğu kaç durum olduğunu bulmalıyız.

Eğer Serpil ve Ümit ekipte ise, 3 kişilik ekibin 2 yeri zaten dolmuş demektir. Geriye kalan 1 yer için öğrenci seçmemiz gerekiyor.

Toplam 10 öğrenciden Serpil ve Ümit'i çıkardığımızda geriye $10 - 2 = 8$ öğrenci kalır. Bu 8 öğrenciden 1 kişi seçmeliyiz:

$$C(8, 1) = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = 8$$

Yani, Serpil ve Ümit'in birlikte olduğu 8 farklı ekip oluşturulabilir.

• Adım 3: Serpil ve Ümit'in birlikte olmadığı ekip sayısını bulun.

İstenen durum, Serpil ve Ümit'in ekipte birlikte olmamasıdır. Bunu bulmak için, toplam ekip sayısından Serpil ve Ümit'in birlikte olduğu ekip sayısını çıkarırız:

İstenen durum = (Toplam ekip sayısı) - (Serpil ve Ümit'in birlikte olduğu ekip sayısı)

İstenen durum = $120 - 8 = 112$

Bu durumda, Serpil ve Ümit'in münazara ekibinde birlikte olmak istemediklerine göre, bu ekip 112 farklı şekilde kurulabilir.

Cevap C seçeneğidir.