Soru Çözümü
- Binom katsayılarının simetri özelliğini ($ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $) kullanarak verilen ifadeyi yeniden düzenleyelim: $ \binom{20}{16} = \binom{20}{4} $ $ \binom{20}{17} = \binom{20}{3} $ $ \binom{20}{18} = \binom{20}{2} $ $ \binom{20}{19} = \binom{20}{1} $ $ \binom{20}{20} = \binom{20}{0} $ Toplam $ S = \binom{20}{4} + \binom{20}{3} + \binom{20}{2} + \binom{20}{1} + \binom{20}{0} $ olur.
- Her bir terimin $19$ ile bölümünden kalanı bulalım. $20 \equiv 1 \pmod{19}$ olduğunu biliyoruz:
- $ \binom{20}{0} = 1 $
- $ \binom{20}{1} = 20 \equiv 1 \pmod{19} $
- $ \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} $. Bu ifade $19$'un katı olduğu için $ \binom{20}{2} \equiv 0 \pmod{19} $.
- $ \binom{20}{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} $. Bu ifade $19$'un katı olduğu için $ \binom{20}{3} \equiv 0 \pmod{19} $.
- $ \binom{20}{4} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} $. Bu ifade $19$'un katı olduğu için $ \binom{20}{4} \equiv 0 \pmod{19} $.
- Toplamın $19$ ile bölümünden kalanı bulmak için terimlerin kalanlarını toplayalım: $ S \equiv 0 + 0 + 0 + 1 + 1 \pmod{19} $ $ S \equiv 2 \pmod{19} $
- Doğru Seçenek C'dır.