🎓 10. Sınıf Tekrarlı Permütasyon Test 3 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 10. sınıf müfredatında yer alan Tekrarlı Permütasyon konusunu ve bu konuyla ilişkili problem tiplerini kapsamaktadır. Testteki sorular, özellikle özdeş nesnelerin dağıtımı (Ayraç Metodu), denklemlerin doğal veya pozitif tam sayı çözümleri, ızgara üzerinde en kısa yol problemleri ve kelime okuma (piramit) problemlerine odaklanmaktadır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınızı yaparken size rehberlik edecek niteliktedir.

1. Tekrarlı Permütasyonun Temelleri

Tekrarlı permütasyon, belirli sayıda nesnenin bir kısmının veya tamamının özdeş olduğu durumlarda, bu nesnelerin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplamak için kullanılır.

• Tanım: n adet nesnenin $n_1$ tanesi birinci çeşitten, $n_2$ tanesi ikinci çeşitten, ..., $n_k$ tanesi k. çeşitten ve $n_1 + n_2 + ... + n_k = n$ olmak üzere, bu n adet nesnenin farklı sıralanışlarının sayısıdır.
• Formül: $P(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$
• Örnek: "MATEMATİK" kelimesinin harfleriyle kaç farklı sıralama yapılabilir? (9 harf var, M'den 2 tane, A'dan 2 tane, T'den 2 tane var) $\frac{9!}{2! 2! 2!} = \frac{362880}{8} = 45360$
• ⚠️ Dikkat: Bu formül, genellikle harflerin veya nesnelerin bir dizi halinde sıralanması durumlarında kullanılır. Özdeş nesnelerin farklı kişilere dağıtımı gibi durumlarda farklı bir yöntem olan Ayraç Metodu devreye girer.

2. Ayraç Metodu (Stars and Bars) ⭐|

Ayraç metodu, özdeş nesnelerin farklı kişilere dağıtılması veya bir denklemin doğal/pozitif tam sayı çözümlerini bulmak için kullanılan güçlü bir yöntemdir.

2.1. Özdeş Nesnelerin Dağıtımı

• Herkesin 0 veya Daha Fazla Nesne Alabileceği Durum (Doğal Sayı Çözümleri): n özdeş nesnenin k farklı kişiye dağıtılması.
  • Bu durum, $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ denkleminin $x_i \ge 0$ şartını sağlayan doğal sayı çözümlerini bulmaya denktir.
  • Formül: $\binom{n+k-1}{k-1}$ veya $\binom{n+k-1}{n}$
  • Günlük Hayat Örneği: Bir pastaneden 3 çeşit (çikolatalı, vanilyalı, fıstıklı) kurabiyeden toplam 10 tane alacaksınız. Kaç farklı seçim yapabilirsiniz? (n=10, k=3) $\binom{10+3-1}{3-1} = \binom{12}{2} = 66$ farklı seçim.
• Herkesin En Az 1 Nesne Alması Şartı (Pozitif Tam Sayı Çözümleri): n özdeş nesnenin k farklı kişiye dağıtılması ve her birinin en az 1 nesne alması.
  • Bu durum, $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ denkleminin $x_i \ge 1$ şartını sağlayan pozitif tam sayı çözümlerini bulmaya denktir.
  • Formül: $\binom{n-1}{k-1}$
  • İpucu: Önce her bir kişiye 1'er nesne verilir. Geriye kalan $n-k$ nesne, k kişiye doğal sayı şeklinde dağıtılır. Yani $\binom{(n-k)+k-1}{k-1} = \binom{n-1}{k-1}$.

2.2. Şartlı Durumlar (Ayraç Metodunda İleri Uygulamalar)

• Belirli Bir Sayıdan Fazla veya Az Alma Şartı: Eğer bir $x_i$ değişkeni için $x_i \ge a$ gibi bir şart varsa, bu $x_i$ değişkenine önceden 'a' kadar nesne verilmiş gibi düşünülür.
  • Örneğin, $x_1 + x_2 + x_3 = 13$ denkleminde $x_1 > 1$, $x_2 > 2$, $x_3 > 3$ şartları varsa:
    • $x_1 \ge 2$, $x_2 \ge 3$, $x_3 \ge 4$ olarak yazılır.
    • Yeni değişkenler tanımlanır: $x'_1 = x_1 - 2$, $x'_2 = x_2 - 3$, $x'_3 = x_3 - 4$. Bu durumda $x'_1, x'_2, x'_3 \ge 0$ olur.
    • Denklemde yerine konulur: $(x'_1+2) + (x'_2+3) + (x'_3+4) = 13$
    • $x'_1 + x'_2 + x'_3 + 9 = 13 \Rightarrow x'_1 + x'_2 + x'_3 = 4$
    • Şimdi bu denklemin doğal sayı çözümleri bulunur: n=4, k=3. $\binom{4+3-1}{3-1} = \binom{6}{2} = 15$.
• 💡 İpucu: Şartları her zaman temel doğal sayı ($x_i \ge 0$) veya pozitif tam sayı ($x_i \ge 1$) durumlarından birine dönüştürmeye çalışın.

3. Izgara ve Yol Problemleri 🗺️

Bu tür problemler, genellikle bir ızgara üzerinde A noktasından B noktasına en kısa yoldan gitmek için kaç farklı rota olduğunu bulmayı amaçlar. Temelinde tekrarlı permütasyon mantığı yatar.

• Düz Izgarada En Kısa Yol: Bir ızgara üzerinde A noktasından B noktasına gitmek için 'n' birim sağa (doğu) ve 'm' birim yukarı (kuzey) veya 'm' birim aşağı (güney) hareket etmek gerekiyorsa, toplam hareket sayısı $n+m$'dir.
  • Bu, 'n' adet sağ hareket ve 'm' adet yukarı/aşağı hareketin sıralanması problemidir.
  • Formül: $\binom{n+m}{n}$ veya $\binom{n+m}{m}$
  • Örnek: 4 birim sağa ve 3 birim yukarı hareket ederek kaç farklı yolla gidilebilir? $\binom{4+3}{4} = \binom{7}{4} = 35$.
• Engelli veya Düzensiz Izgaralar: Izgarada bazı yolların kapalı olduğu veya ızgaranın düzgün olmadığı durumlarda farklı stratejiler kullanılır.
  • Pascal Üçgeni Yöntemi: Her bir köşeye ulaşabilecek yol sayısını, o köşeye ulaşan önceki yolların toplamı olarak yazarak ilerlenir. Bu yöntem, düzensiz veya engelli ızgaralar için çok etkilidir. Her noktaya ulaşım sayısı, o noktaya solundan ve üstünden (veya sağından ve altından, hareket yönüne göre) gelen yolların toplamıdır.
  • Parçalara Ayırma Yöntemi: Yol, engelli bölgeyi atlayacak şekilde belirli ara noktalara bölünür. A'dan ara noktaya, ara noktadan B'ye giden yolların sayısı ayrı ayrı hesaplanır ve çarpılır.
  • Tüm Durumdan Yasaklıları Çıkarma Yöntemi: Eğer engelli bölge küçükse, tüm olası yollar hesaplanır ve engelli bölgeden geçen (yasaklı) yollar bu toplamdan çıkarılır. Ancak bu yöntem, yasaklı yolların sayısını hesaplamak zor olduğunda karmaşıklaşabilir.
• ⚠️ Dikkat: Yol problemlerinde "en kısa yol" demek, sadece belirli yönlerde (örneğin doğu ve güney) hareket etmek anlamına gelir. Geri dönüş veya gereksiz hareketler sayılmaz.

4. Kelime Okuma Problemleri 🔡

Bu tür problemler genellikle bir piramit veya üçgen şeklinde düzenlenmiş harflerden belirli bir kelimenin kaç farklı şekilde okunabileceğini sorar.

• Piramit Şeklindeki Kelimeler: Kelimenin ilk harfinden başlayarak, her adımda sağa veya aşağı (veya çapraz) hareket ederek kelimenin son harfine ulaşılır.
  • Bu da aslında bir tür yol problemidir ve Pascal üçgeni mantığıyla çözülebilir. Her harfe ulaşma sayısı, o harfe komşu üst harflerden gelen yolların toplamıdır.
  • Eğer kelime, her adımda iki seçeneğin olduğu simetrik bir piramit oluşturuyorsa (örneğin "BİLFEN" gibi), ve kelimenin uzunluğu 'n' ise, genellikle $2^{n-1}$ formülüyle çözülür.
  • Örnek: "BİLFEN" kelimesi 6 harfli. Eğer her harften sonra iki alt harfe geçiş varsa, $2^{6-1} = 2^5 = 32$ farklı yolla okunabilir.
• 💡 İpucu: Bu tür sorularda görseldeki hareket yönlerini ve her harfe kaç farklı yolla ulaşılabileceğini dikkatlice takip etmek önemlidir. Pascal üçgeni yöntemi, bu tür problemleri adım adım çözmek için en güvenilir yoldur.

Bu ders notları, Tekrarlı Permütasyon ve ilgili konuları anlamanıza yardımcı olacaktır. Unutmayın, bol bol pratik yapmak ve farklı problem tiplerini çözmek konuya hakimiyetinizi artıracaktır. Başarılar dilerim! 🚀